四次涅槃終獲重生，圓周率π現在已被計算到31萬億個數

「伏羲鱗身，女媧蛇軀」，兄妹關係的伏羲、女媧是我國上古神話中的創世（女）神，他們的故事通過口口相傳、石刻娟畫而有了很多的版本.下圖為「伏羲女媧圖」娟畫，1965年出土於一座夫妻合葬墓。娟畫中日月星辰的布局體現了古人對於宇宙萬物的理解，「女媧右手執規，伏羲左手執矩」則更具有數學味道.

伏羲女媧圖絹畫 唐(618～907年)

規可作圓，矩可畫方。方與圓是最常見、也是被人們發現最早的幾何圖形之一。尤其是「圓」，從古至今也沒有真正被研究透徹過，伴隨著圓周率π一路滿滿的神秘感.

一、經驗時代

人類先祖對於圓的興趣或許來自於太陽、月亮等自然存在的「圓形物體」，從實物到抽象圖形是一個很漫長的過程。基於生活實踐（如土地分配等）的需要，人們對於「圓形」的度量產生了興趣。

一個半徑為R的圓，面積和周長分別是多少？

這樣一個看似簡單的問題，如果純粹靠我們自己的推理，我相信幾乎沒有人能得到令人滿意的結果. 它的難度源自兩個方面，首先，很難發現周長與直徑的比值（或面積與半徑的平方）是一個定值（即，圓周率π）.其次，即使我們知道了定值π的存在，也難以給出一個計算π值的方法.

當然，不是因為我們腦袋不夠用，而實在是學習容易發現難.無數古人付出了艱辛努力，卻總是收效甚微。我們以四大古國的研究為例，大致來看看圓周率π的發現與計算過程.

約公元前1900-1600年，古巴比倫石匾，π= 25/8 = 3.125

約公元前17世紀，古埃及萊因德數學紙草書，π=(16/9)^2≈3.1605

約公元前800-600年，古印度宗教巨著《百道梵書》，π=339/108≈3.139

約公元前1世紀，西漢《周髀算經》「周三徑一」，即π=3.

我們看到不同古代文明對於圓周率的認識稍有不同，但都已經發現了定值π的存在，並將π的近似值精確到了小數點後1位。但是沒有直接的證據來佐證古人們通過什麼樣的方法得了π的這些近似值，是基於生產經驗還是理論推導？在古希臘文明之前我更傾向於前者.

二、理性之光

古希臘文明對於早期數學的貢獻是巨大的，對圓周率的研究自然也不例外。公元前287–212 年，敘拉古的阿基米德第一個將圓周率π推向理性世界.

有沒有一個方法可以準確的計算出π的值呢？阿基米德之前沒有人能做到，之後也要直到1700年以後才有新的突破。阿基米德的方法主要使用了兩個關鍵點：正多邊形與逼近。

準確來說，阿基米德從圓的兩個正6邊形出發（一個內接、一個外切），得到了圓周率的第一個上、下界，以後每次邊數加倍（即正12邊形、正24邊形），一直到圓的內接（外切）正96邊形（此時圓周率π的下界和上界分別為223/71 和22/7），阿基米德取它們的平均值3.141851 為圓周率的近似值。也就是說，阿基米德第一次通過數學理性思維得到了π的精確到小數點後3位的近似值。

阿基米德方法的優勢是：只要你足夠耐心、細心，你可以算到你想要的精確度。缺點是：你不會有這樣的耐心和細心，因為它實在太難了。這就是想像與實際之間的差別。

阿基米德（公元前287年—公元前212年）

我國魏晉時期著名數學家劉徽，也是從圓內接正6邊形開始，一直算到192邊形，得到π=3.141024. 之後繼續割圓到1536邊形，才得到π=3.1416.

公元480年左右，我國南北朝時期的數學家祖衝之給出不足近似值3.1415926和過剩近似值3.1415927，將π精確到小數點後第7位.而這一記錄要直到800年後才被阿拉伯數學家卡西打破（精確到17位精確小數值）.

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祖衝之（429年-500年）

花了一千多年，數學家們計算圓周率π都離不上面的「割圓術」，這與幾何學在這段時期的數學王者地位息息相關.但是繁瑣的計算實在讓數學家們頭疼不已，隨著數學新思想、新工具的出現，數學家們正在向另一個世界邁進.對π作出下一個革命性改變的是「代數學之父」——韋達.

三、分析主導

韋達因為「韋達定理」而被大家所熟知，但是他對數學（尤其是代數）還有很多的巨大貢獻，很多工作都是開創性的。關於圓周率π，韋達也深有研究，今天被譽為「韋達π公式」的π的展開式，開啟了研究π的新篇章.

如上圖，韋達通過幾何方法計算得到圓的內接圓正n邊形、正2n邊形的關係，進一步使用代數運算得到的下面的等式.

這是π計算史上的一個重要裡程碑，它的發現代表著π的研究從幾何轉向了分析，這樣一個等式只用到了4個數學元素就表示了一個無理數——根號、1、2和加號，式子簡單明了、優美大方.但是它也有一個缺點，就是收斂速度太慢，於是韋達也是只把它當作研究成果，真正計算圓周率韋達還是使用了古老的「割圓術」，並計算到了π小數點後的第9位.

韋達的研究是新篇章，但缺點也暴露無遺。15世紀以後的數學家在他的啟發下，得到了關於π的更多的展開式.比如歐拉π公式

「wallis公式」

「Leibniz定理」

這些數學大家發現的公式都以最簡單的、具有吸引力的符號表示了π，但是這些也都沒有解決「收斂速度慢」的問題。也就說公式美得沒得說，但是不適用，用於計算圓周率所花費的時間依舊會很長. 1706年，英國天文學教授John Machin發現的公式得到了一個收斂速度較快的π等式：

他利用這個公式計算到了100位的圓周率。1789年，斯洛維尼亞數學家Jurij Vega利用該公式得出π的小數點後137位.1948年，英國的弗格森、美國的倫奇共同發表了π的808位小數值，成為人工計算圓周率值的最高紀錄。

四、程序世界

人工計算π隨著計算機的發明而逐步被程序所替代，數學家的工作不再繁瑣的計算，而是一個好的「收斂π公式」的設計、以及編程。上面的Machin公式就是這樣的優秀公式中的一個，由於每計算一項可以得到14位的十進位精度，這樣使得這個公式在計算機上編程實現起來比較輕鬆.

20世紀更多的計算π的公式和程序被設計出來。數學家們對於π的計算已不單純是了解π的神秘，計算機性能測試、數學實力展示等讓π的計算更具神秘感.

2019年3月4日，來自日本的谷歌員工,已將圓周率π計算到31萬億個數.而且這樣的記錄隨時還會被打破。