眾所周知，圓周率是圓的周長與直徑的比值。在古代的數學史上，圓周率的研究和計算一定程度上反應了當時的數學水平。古希臘阿基米德，阿拉伯的卡西，古印度阿耶波多，古代中國祖衝之和劉徽等等數學家，都致力於圓周率的研究和計算，先後給出了圓周率的估值。劉徽等人使用的是割圓術：使用內接於圓的正多邊形逼近圓，多邊形的邊數越多，其周長與面積也越接近圓。思路很簡單，但其計算量是個不小的挑戰。也似乎在計算前，缺少了對計算的論證。不同於古代正多邊形的估算，現代藉助計算機，已經可以求得的圓周率達到了驚人的位數，2019年3月14日，谷歌宣布圓周率已到小數點後31.4萬億位。那麼現代計算的依據是什麼呢？
圓周率是無理數1737年，歐拉證明了e是無理數；蘭伯特根據歐拉的工作證明：如果x是非零有理數，那麼e^x和tanx都不是有理數。再根據此結果，由tan(π/4)=1，可得到π/4不是有理數，因此圓周率是無理數。
圓周率是超越數勒讓德首先猜測圓周率可能不是有理係數方程的根，勒讓德的猜測促進了無理數的分類。任何有理係數多項式代數方程的任何一個根叫做一個代數數。即方程
的根叫做代數數，其中係數a是有理數。而那些不是代數數的數叫做超越數。
1873年，法國數學家埃爾米特給出了自然常數e的超越性的證明，1882年，德國數學家林德曼證明了π也是超越數。但是e+π是不是無理數、超越數還有待確定，歐拉常數是不是無理數也同樣有待確定。
圓周率的計算公式維加於1789年發表公式：
歐拉-維加公式：
歐拉公式：
克拉森公式：
盧瑟福公式(1841)：
高斯公式：
達澤公式：
布賽爾公式：
艾斯克託公式(1896)：
肖魯茲公式(1844):
斯特姆公式：
山克斯公式(1853)：
赫頓：
馬庭(1706)：
上述公式只是部分成果，而且除了正切反函數表示的公式外，也有一些使用正弦、餘弦的反函數的圓周率公式。再使用正切反函數的級數展開式，通過計算機來計算圓周率。由於上述公式的收斂速度有快有慢，圓周率的計算會選擇收斂較快的公式。因此歐拉和馬庭公式使用的更多一些。
圓周率的級數表達萊布尼茨(1673)：
歐拉：
歐拉：
歐力斯(1656)：
松永良弼：
牛頓：
牛頓：
烏衣塔：
夏普(1705):
馬庭(1706)：
1673年，萊布尼茨找到圓周率的一個級數表示形式，結束了人工計算圓周率的工作，開啟了計算機計算圓周率的時代。當然了，萊布尼茨的級數收斂速度是偏慢的。藉助計算機，圓周率的計算位數也在不斷的刷新，很多時候都用來測試計算機的性能。