中國古代圓周率π的計算史:祖衝之和圓周率的高效計算

2021-02-08 中學生英才計劃

黃建國，上海交通大學數學科學學院教授，主要研究方向為有限元方法與應用、 快速算法設計與分析。

本課程介紹中國古代圓周率的計算史。首先從劉徽割圓術講起，通過介紹割圓術的算法思想和計算方法，以及劉徽不等式的證明，探尋其中所蘊含的對現代數學影響巨大的數學思想。接著介紹了祖衝之對於圓周率的高效運算和他所得到的的高精度結果。由於記載著他的方法的《綴術》失傳，後世學者為探索其可以精確的計算圓周率結果的方法，做出了各種各樣的嘗試，本課程也一一進行了簡單介紹。

南北朝時期的祖衝之是我國傑出的數學家，科學家，他在圓周率的計算上得到了高精度的計算成果，把圓周率精確到了小數點後第七位，同時給出了π的兩個有理逼近。這是繼劉徽割圓術之後中國傳統數學的重大進展。由於記載著祖衝之方法的《綴術》業已失傳，我們只能推測祖衝之取得這些成果所用的方法。

本講座共分十節，目錄如下：

第一節：劉徽與《九章算術》

第二節：割圓術的算法思想

第三節：割圓術的計算方法

第四節：劉徽不等式

第五節：割圓術蘊含的數學思想

第六節：祖衝之和圓周率的高效計算

第七節：調日術和「約率」和「密率」的導出

第八節：閏周算法

第九節：計算圓周率的高效算法-外推法

第十節：《綴術》求π的推測


來源：數學英才

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  • 中國古代圓周率π的計算史:割圓術的計算方法
    本課程介紹中國古代圓周率的計算史。首先從劉徽割圓術講起，通過介紹割圓術的算法思想和計算方法，以及劉徽不等式的證明，探尋其中所蘊含的對現代數學影響巨大的數學思想。接著介紹了祖衝之對於圓周率的高效運算和他所得到的的高精度結果。由於記載著他的方法的《綴術》失傳，後世學者為探索其可以精確的計算圓周率結果的方法，做出了各種各樣的嘗試，本課程也一一進行了簡單介紹。
  • 圓周率π的計算曆程
    作為一個非常重要的常數，圓周率最早是出於解決有關圓的計算問題。僅憑這一點，求出它的儘量準確的近似值，就是一個極其迫切的問題了。事實也是如此，幾千年來作為數學家們的奮鬥目標，古今中外一代一代的數學家為此獻出了自己的智慧和勞動。回顧歷史，人類對 π 的認識過程，反映了數學和計算技術發展情形的一個側面。 π 的研究，在一定程度上反映這個地區或時代的數學水平。
  • 圓周率是如何計算的?祖衝之的『綴術』居然失傳了
    圓周率π是一個十分重要的數，也是一個很神奇的數。從古希臘時代開始，由於科學研究和工程技術的需要，圓周率的計算就一直沒有停止過。直到今天，圓周率依然是檢驗計算機計算能力的方法之一。日本某個無聊的出版社居然出了一本一百萬位的圓周率的書《円周率1000000桁表》，全書只有一個數字：π。你知道人們最開始是如何計算圓周率的嗎？
  • 圓周率π已被計算到了31.4萬億位,繼續計算下去有何意義?
    說到圓周率π，相信大多數人想到的就是可以用來計算圓的周長和面積，是數學及物理學中存在的數學常數。通俗意義上來理解圓周率，它就是圓的周長與直徑的比值或者圓面積與半徑平方的比值。圓周率π作為一個無理數（無線不循環小數），在日常實際生活中，通常只用到近似值3.14進行計算，只有科學家們為了精確計算才會用到十位小數，甚至幾百位小數進行精確精算。在中國的古代，人們從實踐中就知道圓的周長是「圓徑一而周三有餘」，意思是說圓直徑的三倍多等於圓的周長，三倍多要多多少，成了一個非常難的研究課題。
  • 祖衝之如何算出圓周率?用編程還原計算過程,結果令人感嘆不已
    祖衝之使用的是周長法。通過測量（計算）正多邊形的周長，用周長與直徑的比值計算圓周率π。（據考證算盤實在唐、宋時期才出現的）祖衝之計算時使用的是一些小木棍——算籌，且不論測量時如何解決誤差問題，僅是計算時面臨的困難，其難度可想而知。今天，我們還原祖衝之周長法計算圓周率，當然不用再拿尺子去量了，藉助計算機的強大運算能力，學習少兒編程的小朋友使用Scratch編程也能輕易計算出更精準的π。
  • 圓周率的計算依據是什麼?
    在古代的數學史上，圓周率的研究和計算一定程度上反應了當時的數學水平。古希臘阿基米德，阿拉伯的卡西，古印度阿耶波多，古代中國祖衝之和劉徽等等數學家，都致力於圓周率的研究和計算，先後給出了圓周率的估值。劉徽等人使用的是割圓術：使用內接於圓的正多邊形逼近圓，多邊形的邊數越多，其周長與面積也越接近圓。思路很簡單，但其計算量是個不小的挑戰。也似乎在計算前，缺少了對計算的論證。
  • 小學數學 | 【數學文化】π 圓周率的歷史
    圓的周長與直徑之比是一個常數，人們稱之為圓周率，通常用希臘字母π表示。1706年，英國人瓊斯首次用π代表圓周率，他的符號並未立刻被採用。
  • 圓周率π的計算曆程及各種腦洞大開的估計方法
    作為一個非常重要的常數，圓周率最早是出於解決有關圓的計算問題。僅憑這一點，求出它的儘量準確的近似值，就是一個極其迫切的問題了。回顧歷史，人類對 π 的認識過程，反映了數學和計算技術發展情形的一個側面。 π 的研究，在一定程度上反映這個地區或時代的數學水平。為求得圓周率的值，人類走過了漫長而曲折的道路，它的歷史是饒有趣味的。我們可以將這一計算曆程分為幾個階段。
  • 祖衝之與圓周率
    有一位德國數學家曾經這樣說過：「歷史上一個國家所得到的圓周率的精確程度，可以作為衡量這個國家當時數學發展水平的一個標誌。」祖衝之推算出的圓周率，精確到小數點以後第七位有效數字，是當時世界上最先進的圓周率，西方直到1573年才由德國奧託較為精確地計算出來，比祖衝之晚了1100多年！後來荷蘭人安託尼茲也算出這個近似分數，於是歐洲人就把這個稱為「密率」的近似分數叫 「安託尼茲率」。
  • 漫談圓周率的發展歷程
    中國古代的天圓地方觀念深入人心，更說明了中國古代先民對圓這一形狀的感性認識，「圓滿」也成為中國傳統文化所追求的理想境界。　　正是基於對圓這種特殊造型的崇拜，使得中國人很早就對圓的大量的感性認識進行思考總結。「規者，正圓之器也。」漢代畫像石《伏羲女媧天地日月》圖中伏羲左手執矩，女媧右手持規。由此可見，中國古代從很早就開始認識圓，也開始了對於圓周率的計算。
  • 3.1415926……圓周率你能背多少位?古代中國對圓周率的研究
    至少在公元前1千年，這個數值已經精確到了3.其中愛泡澡的阿基米德他就利用內切和外接正多邊形，估算出了近似值22/7。這是公元前人類能夠得到的最精確的圓周率。而類似的思想火花燁萌發在古代中國，這就是著名的割圓術。
  • 圓周率π,不得不說的一個數
    是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵值。在分析學裡，π可以嚴格地定義為滿足 sin(x)=0 的最小正實數x。圓周率用字母π（讀作pài）表示，是一個常數（約等於 3.141592654），是代表圓周長和直徑的比值。它是一個無理數，即無限不循環小數。在日常生活中，通常都用3.14代表圓周率去進行近似計算。
  • 你知道圓周率的計算歷史嗎?知力百科
    歆率同古希臘大科學家阿基米德（Arehimedes.前287~前212年）求得之圓周率相比要晚兩百多年，數值也不如後者精確。但在中國的科學技術史上仍然不愧是尋求新率的先導。東漢時代的張衡（78~139年）是中國古代在天文學方面有過卓越貢獻的大科學家，他也曾涉獵過固周率的計算。遺憾的是這位舉世聞名的科學家並沒有在欲率的基礎上前進。他的周率為3.1623。
  • 圓周率π是如何計算得到的
    圓周率是很多人在小學階段就接觸的一個數，關於它的知識可以從小學一直貫穿到無窮盡。
  • 古代最偉大的成就「圓周率」到底是怎麼計算出來的?
    提起圓周率，我們首先想到的是祖衝之。祖衝之是我國南北朝時期最偉大的數學家之一。祖衝之字文遠祖籍河北省，為了躲避當時的戰亂舉家搬遷到江南，他更是我國古代著名的數學家天文學家。他最大的成就莫過於將圓周率精確到了小數點後的七位。這一成就比現在科技發達的歐美還有早一千多年。
  • 圓周率π的計算公式
    圓周率π是圓的周長和其直徑的比值,這是一個常數,在數學中是非常重要的。
  • 古代沒有計算機,祖衝之是怎樣把圓周率計算到小數點後七位的?
    祖衝之是我國南北朝時期傑出的數學家、天文學家，他在數學、天文曆法和機械製造三方面，為我國的科學進步做出了不可磨滅的貢獻。其中一個比較重要的貢獻是，把圓周率精確到小數點後七位，確定了圓周率數值在3.1415926和3.1415927之間。
  • 3.14圓周率日,原來你是這樣有趣的π!
    古代中國、古代埃及、古代兩河流域留下的古籍中，都分別獨立出現了圓周率的概念。計算出更加精確的圓周率，就成了一代又一代數學家持之以恆的事業。 其中最著名的就是祖衝之了，他是世界上第一個把圓周率精確到3.1415926與3.1415927之間的人。至於他怎麼得到的這一數值，現在已不可考。
  • 祖衝之算圓周率時,算盤還沒被發明,他用了何種方法計算出的
    影射、不涉及任何政治世界上第一個將圓周率精確到七位的，就是我國祖衝之，直到一千年以後，阿拉伯數學家阿爾·卡西和法國數學家維葉特兩人才將圓周率後七位給算出來，證明了祖衝之算出的圓周率是正確的，在相同的時間裡，德國科學家將此稱之為安託尼茲率，但仍然別有用心的人說，這段歷史是中國偽造的，而且他們還舉出了種種例子。
  • 圓周率是個無理數,已經計算到了31萬億位,繼續計算有何意義?
    愛因斯坦在提出相對論前，進行了大量的計算，和數學家希爾伯特的對話也刺激了他。對於中國的學生來說，從幼兒園開始就會接觸數學，小學主要學習運算，對幾何圖形也有涉獵。圓形無疑是幾何圖形中避不開的，它的性質和其他圖形有明顯差別，因為有圓周率的存在。幾乎所有和圓形有關的問題，都離不開圓周率。