利用gamma函數定義了許多概率分布，如gamma分布、Beta分布、Dirichlet分布、卡方分布和 t分布等。
對於數據科學家、機器學習工程師、研究人員來說，Gamma函數可能是應用最廣泛的函數之一，因為它被應用於許多分布中。然後將這些分布用於貝葉斯推理、隨機過程（如排隊模型）、生成統計模型（如潛在Dirichlet分配）和變分推理。因此，如果你能很好地理解Gamma函數，您就會對它出現的許多應用有更好地理解！
為什麼我們需要伽瑪函數？
因為我們想推廣階乘！
階乘函數隻定義了離散點(正整數-上圖中的黑點)，但是我們想把這些黑點連接起來。我們想把階乘函數擴展到所有複數。階乘的簡單公式x!= 1 * 2 *…* x，但不能直接用於小數，因為它只在x是整數時有效。
歐拉找到了伽馬函數。（18世紀）
上面的公式用於查找任意實值z的伽馬函數值。
假設你要計算Γ(4.8)。如何解上面的積分？
你能計算Γ(4.8)嗎？也許可以用分部積分法？
嘗試一下，如果你找到了一個有趣的方法，請告訴我！對於我(以及到目前為止的許多其他人)來說，沒有一種快速簡便的方法可以手動計算分數的伽馬函數。（如果你對手工解決有興趣，這是一個很好的起點。）
好吧，那就不用分析了。你能實現這個從0到∞的積分嗎？
你可以用幾種方法來實現它。實現它最常用的兩種方法是斯特林近似和Lanczos近似。
讓我們使用已經實現的計算器來計算Γ（4.8）。
我們得到17.837。
7.837在3之間3!(=Γ(4)= 6)和4 ！(=Γ(5)= 24)-我們的預期。當z是自然數時，Γ（z）=（z-1）！我們很快就會證明這一點。
與階乘不同，階乘只接受正整數，我們可以在z中輸入任何實數/複數，包括負數。Gamma函數連接了這些黑點並很好地繪製了曲線。
伽馬函數是如何實現階乘的？
如果你看一下Gamma函數，你會注意到兩件事。
首先，相對於z，它絕對是一個遞增函數。
其次，當z是自然數時，Γ（z+1）=z！
（我保證我們很快就會證明這一點！）
因此，我們可以期望Gamma函數可以實現任意階乘。
函數中為什麼會有x^z和e^-x的？
我不知道歐拉的思想過程是什麼，但他是發現自然數e的人，所以他一定做了很多實驗用e乘以其他函數來得到現在的形式。
伽瑪函數的圖形是什麼樣的？
當x→∞時，第一項(x^z)→∞，而第二項(e^-x)→0。
那麼函數會收斂到有限值嗎？
我們可以用洛必達法則嚴格證明它是收斂的。但我們也可以毫不費力地看到它的收斂。如果你想一下，我們要對x^z(多項式遞增函數)和e^-x(指數遞減函數)的乘積做積分。因為e^-x的值比x^z的值下降得快得多，Gamma函數很可能收斂並具有有限值。
眼見為實，我們就把每一張圖都畫出來。
圖下的綠色陰影區域，表示從0到無窮大，是Γ（4.8）=3.8！
Python代碼用於生成上面漂亮的圖。自己畫出來，看看z是如何改變Gamma函數的形狀的！
伽馬函數性質
讓我們用部分積分和伽馬函數的定義來證明它
完美證明！
Γ(1)是什麼?
因此，Γ（n）=（n-1）！
快速回顧一下Gamma「分布
證明如下:
讓我們證明上面的紅色箭頭部分。
我們會用代換積分。
伽瑪函數距今大約有300多年了
（你今天在做什麼東西，300年後會用嗎？;)
一個有趣的旁註：歐拉64歲時失明，但他在失明後創作了幾乎一半的作品。
這裡是伽馬函數實數圖的快速瀏覽。
伽馬函數，藍色的Γ（z），與綠色的Γ（z）+sin（πz）一起繪製。（注意正整數的交集，因為sin（πz）為零！）二者都是階乘到非整數的連續有效分析。