一、什麼是連續？
對於連續性，在自然界中有許多現象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續地變化著的。這種現象在函數關係上的反映，就是函數的連續性。簡單地說，如果一個函數的圖像你可以一筆畫出來，整個過程不用抬筆，那麼這個函數就是連續的。
從數學上看，所謂連續即「極限值=函數值」，這一個等式包含了三個方面：
1、函數必須在該點處有定義；
2、函數必須在這個點附近存在極限；
3、是前面兩點的內容必須相等，同時滿足這三個條件，才叫做函數在某點處連續。
也可以這樣直觀理解：
直觀意義就是：
兩個點之間可以插入無數個點，一直插入到兩個點之間沒有空隙；
例如 y = x 取 x = 1，跟 x = 2 兩個值，y = 1，y = 2 是它們對應的值，在這兩點之間，x 可以取任何值。也就是說，我們沒有任何理由 x 不取某個值。在這樣的情況下，這兩個點之間可以填滿無數個點，把這些點連起來的圖形沒有斷斷續續的點，而是一條沒有斷點沒有縫隙的直線。沒有斷點的線，無論是直線還是曲線就是連續的線。函數連續就是圖形沒有斷點，沒有縫隙，沒有漏洞。
數學定義：若對任意ε>0，存在δ>0，使得當|x-x0|<δ時有：|f(x)-f(x0)|<ε，則稱f在x0處連續若f在區間I上任一點都滿足上述定義，則稱f在I上連續。
總之，所謂連續是指函數y=f（x）當自變量x的變化很小時，所引起的因變量y的變化也很小。例如，氣溫隨時間變化，只要時間變化很小，氣溫的變化也是很小的；又如，自由落體的位移隨時間變化，只要時間變化足夠短，位移的變化也是很小的。對於這種現象，我們說因變量關於自變量是連續變化的，連續函數在直角坐標系中的圖像是一條沒有斷裂的連續曲線。由極限的性質可知，一個函數在某點連續的充要條件是它在該點左右都連續。
二、什麼是不連續？
不連續」是不能同時滿足連續的三個條件的點：
1、函數在該點處沒有定義；
2、若函數在該點有定義，但函數在該點附近的極限不存在；
3、雖然函數在該點處有定義，極限也存在，但是二者不相等。
關於間斷點，請看此文章.--> 圖識間斷點
三、連續函數的定理：
定理一 在某點連續的有限個函數經有限次和、差、積、商（分母不為0） 運算，結果仍是一個在該點連續的函數。
定理二 連續單調遞增 （遞減）函數的反函數，也連續單調遞增 （遞減）。
定理三 連續函數的複合函數是連續的。
這些性質都可以從連續的定義以及極限的相關性質中得出。
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