函數在一點的連續性
定義1：設函數f在U(x0)內有定義. 若lim( x→x0 ) f(x)=f(x0)，則稱f在點x0連續.
如：∵lim( x→2) f(x)=lim( x→2) (2x+1)=5=f(2)，
∴f(x)=2x+1在點x=2連續.
∴f(x)在點x=0連續.
記△x=x-x0，稱為自變量x(在點x0)的增量或改變量.
設y0=f(x0)，相應的函數y(在點x0)的增量記為：
△y=f(x)-f(x0)=f(x0+△x)-f(x0)=y-y0.
當lim( △x→0)△y=0時，函數y=f(x)在點x0連續。
若對任給的ε>0，存在δ>0，使得當|x-x0|<δ時有|f(x)-f(x0)|<ε，
則稱函數f在點x0連續。
f在x0連續時，lim( x→x0 ) f(x)=f(lim( x→x0 )x)，
即lim( x→x0 )與f具有可交換性.
例1：證明函數f(x)=xD(x)在點x=0連續，其中D(x)為狄利克雷函數.
證：由f(0)=0，且|D(x)|≤1，對ε>0，要使|f(x)-f(0)|=|xD(x)|≤|x|<ε，
只要取δ=ε，則當|x-0|<δ時，就有|f(x)-f(0)| <ε，∴f在點x=0連續.
定義2：設函數f在U+(x0)(或U-(x0))內有定義.
若lim( x→x0+ ) f(x)=f(x0)(或lim( x→x0- ) f(x)=f(x0))，
則稱f在點x0右(或左)連續.
定理4.1：函數f在x0連續的充要條件是：f在點x0既是右連續，又是左連續.
例2：討論函數
在點x=0的連續性.
解：∵lim( x→0+ ) f(x)=lim( x→0+ ) (x+2)=2=f(0)，
lim( x→0- ) f(x)=lim( x→0- ) (x-2)= -2≠f(0)，
即函數f(x)在點x=0是右連續，不是左連續，∴f(x)在點x=0不連續.