1、按定義證明下列函數在其定義域內連續
(1)f(x)=1/x；(2)f(x)=|x|.
證：(1)f(x)=1/x的定義域D=(-∞,0)∪(0,+∞)
當x,x0∈D時，有|1/x-1/x0|=|x-x0|/(|x||x0|)
由三角不等式可得：|x|≥|x0|-|x-x0|，
∴|1/x-1/x0|≤|x-x0|/(|x0|^2-|x-x0||x0|)
對任給的正數ε，有δ>0，當|x-x0|<δ時，
有|x-x0|/(|x0|^2-|x-x0||x 0|)<δ/(|x0|^2-δ|x0|)
∴要使|1/x-1/x0|<ε，只要使δ/(|x0|^2-δ|x0|)=ε，
即當δ=(εx0^2)/(1+ε|x0|)>0時，就有|f(x)-f(x0)|<ε
∴f(x)在x0連續. 由x0的任意性知f(x)在其定義域內連續.
(2)f(x)=|x|在R上都有定義。任取x, x0∈R，有||x|-|x0||≤|x-x0|.
對任給的正數ε，有δ>0，當|x-x0|<δ時，有||x|-|x0||<δ
∴只要取δ=ε，就有|f(x)-f(x0)|<ε
∴f(x)在x0連續. 由x0的任意性知f(x)在R連續.
2、延拓下列函數，使其在R上連續
(1)f(x)=(x^3-8)/(x-2)；(2)f(x)=(1-cos x)/x^2 ；(3)f(x)=xcos(1/x).
解：(1)∵f(x)=(x^3-8)/(x-2)在x=2沒有定義，
且lim(x→2)(x^3-8)/(x-2)=lim(x→2)(x^2+2x+4)=12；
∴延拓函數得
(2)∵f(x)=(1-cos x)/x^2 在x=0沒有定義，且
lim(x→0)(1-cos x)/x^2 =lim(x→0)(2(sin(x/2))^2)/x^2
=lim(x→0)(sin(x/2))^2/〖2(x/2)〗^2 =1/2；
∴延拓函數得
(3)∵f(x)=xcos(1/x)在x=0沒有定義，且lim(x→0)xcos(1/x)=0；
∴延拓函數得
3、證明：若f在x0連續，則|f|與|f^2|也在點x0連續. 又問：|f|或f^2也在點I連續，那麼f在I是否必連續？
證：∵f在x0連續，∴ε>0，有δ>0，
使當|x-x0|<δ時，都有|f(x)-f(x0)|<ε.
又|f(x)-f(x0)|≥||f(x)|-|f(x0)||，
∴當|x-x0|<δ時，都有||f(x)|-|f(x0)||<ε.
∴|f|在點x0連續.
又∵f在x0連續，由局部有界性知，存在M>0及δ1>0，
使|x-x0|<δ1時，有|f(x)|<M/2，
ε>0，有δ2>0，使當|x-x0|<δ2時，都有|f(x)-f(x0)|<ε/M.
取δ』=min{δ1,δ2}，則當|x-x0|<δ』時，有
|f^2(x)-f^2(x0)|=|f(x)-f(x0)||f(x)+f(x0)|≤|f(x)-f(x0)|(|f(x)|+|f(x0)|)<ε/M·M=.
∴f^2在點x0連續.
其逆命題不成立，例如設
則|f|,f^2均為常數函數，
∴|f|,f^2均為連續函數，但f(x)在R上的任一點都不連續.
4、設當x≠0時，f(x)≡g(x)，而f(0)≠g(0). 證明：f與g兩者中至多一個在x=0連續.
證：若f與g在x=0都連續，
則lim(x→0)f(x)=f(0)；lim(x→0)g(x)=g(0).
又當x≠0時，f(x)≡g(x)，
∴lim(x→0)f(x)=lim(x→0)g(x)，
∴f(0)=g(0)，這與f(0)≠g(0)矛盾，
∴f與g兩者中至多一個在x=0連續.