大家好，這裡是小張老師. 本期繼續為大家講解無窮小量的階與等價量代換法，其中後者是計算函數極限的重要方法. 數學專業和非數學專業的同學都要掌握好本期內容.
設函數 和 在 的某個去心鄰域內有定義，且 .（對於函數在無窮遠處的極限與函數的單側極限可類推.）
的定義為，如果當 時， 和 都是無窮小量，則稱 是比 更高階的無窮小量. 特別地， 表示，當 時， 為無窮小量.
的定義為， 在 的某個去心鄰域上成立，即成立不等式 . 特別地， 表示， 在 的某個去心鄰域上有界. 此時， 也被稱為局部有界量.
如果有 且當 時， 和 都是無窮小量（或無窮大量），則稱 和 為同階無窮小量（或無窮大量）. 特別地，如果進一步有 則稱 和 為等價無窮小量（或無窮大量），記作 .
無窮小量的階的概念可以量化，一般選取冪函數作為比較無窮小量收斂於零的速度（或無窮大量的增長速度）的基準.
如果當 時， 為無窮小量，且存在常數 ，使得 則稱當 時， 為 階無窮小量；
如果當 時， 為無窮大量，且存在常數 ，使得 則稱當 時， 為 階無窮大量.
一般的等價量代換法可歸納如下. 設待求極限為 ，其中 是 的函數. 若有 ，則可以將因式 用 代替，即 在等式右邊有意義時成立. 需要強調的是，等價量代換法只適用於替換某個因式，而對形如 或 的函數，則不能將 直接替換為 .
在實際解題中，等價量代換法往往與換元法配合使用. 假設 和 為對應 的無窮小量，且有 ，即函數 和 在 處連續. 如果對於變換 ，滿足 ，則同樣有 在等式右邊有意義時成立. 上式可以通過令 當時當時 並驗證以下等式證明：
請讀者以下面的題目為例，練習等價量代換法的應用.
命題 1 求極限：
注意到，本題為 型未定式. 對於指數型的未定式，我們往往通過取對數將指數結構轉化為乘積結構，再利用函數 的連續性，由對數的極限過渡到原函數的極限.
注意本題的解答中， 代替 的一步便是基於複合函數的等價量代換法（式 (1)）. 這一步的依據是 以及函數 在 處的連續性.
本期的練習有一個共同點，即分子都是 型無窮小量，估計這種無窮小量的階是有技巧的，請讀者嘗試自行探究，答案將在下期揭曉.
練習 4 計算下列極限：