第十二屆全國大學生數學競賽初賽數學類A卷兩道高代試題的思路分析及其推廣

2021-01-14 久章智能

本文將給出第十二屆全國大學生數學競賽初賽數學類 A 卷的兩道高等代數試題詳細的思路分析及其推廣.

第三大題  設

思路分析  若矩陣

同時處理兩個矩陣始終是一個困難的問題. 如果

第三大題的證明  由

以上關於正交陣特徵值的討論非常有趣, 類似的討論可以證明以下兩個推廣. 第一個是 19 級高代 II 每周一題第 18 題的推廣, 由復旦數學學院 19 級鄺麒同學給出.

推廣 1  設

證明  設

第二個是上述第三大題的推廣, 以下是更加一般的形式.

推廣 2 (高代白皮書的例 9.103)  設

證明  白皮書上的證明用了正交陣的正交相似標準型理論, 這裡我們僅用正交陣的基本性質以及可復對角化來證明. 將兩個正交陣

注 1  由推廣 2 可知, 若階數

第四大題  稱非常值一元

思路分析  從前十一屆全國競賽的試題來看, 多項式的內容絕不是考察的重點 (事實上, 多項式也不是高等代數教學中的重點). 題中給出的奇怪條件「首一多項式

第四大題的解答  設

只要求出線性方程組

命題 1  設

證明  這是教學論文 [4] 中的命題 1, 在那裡給出了三種證法: 證法一是利用行列式的組合定義進行討論; 證法二是利用加 2 變換進行討論; 證法三是利用模 2 同餘進行討論. 限於文章篇幅, 這裡不再贅述證明細節, 請讀者自行參考教學論文 [4]. 值得一提的是, 第四大題的官方解答處理這一命題的兩種方法正好是加 2 變換法和模 2 同餘法.  

由命題 1 可知, 第四大題中的 2020 階方陣

推廣 3  求所有

(1) ;

(2)

(3) 當

略解  當

總的來說, 第十二屆全國大學生數學競賽初賽數學類 A 卷的兩道高代試題並不算難, 但比較好地考察了學生對線性方程組的求解理論 (包括行列式理論等) 以及正交陣的相關性質 (包括特徵值和可復對角化等) 的掌握和運用, 應該算是比較適合的競賽命題.

本文給出如此詳盡的解題思路分析, 也是想提醒讀者: 高等代數中重要思想、方法和技巧的熟練運用, 不僅需要通過做一定數量的習題來實現 (也就是刷題), 更加需要在做每一道習題之前, 認真思考解題思路, 反覆衡量各種方法的可行性, 唯有這樣才能真正地提高解題能力和創新能力.

參考文獻

[1]  高代教材: 姚慕生, 吳泉水, 謝啟鴻 編著, 高等代數學 (第三版), 復旦大學出版社, 2014.

[2]  高代白皮書: 姚慕生, 謝啟鴻 編著, 學習方法指導書: 高等代數 (第三版), 復旦大學出版社, 2015.

[3]  謝啟鴻, 復旦大學高等代數習題課教學視頻, https://www.bilibili.com/video/av90771191/

[4]  謝啟鴻, 邵美悅, 從一個初等問題看高等代數中的若干技巧, 高等數學研究, 2013, 16(4), 53--55.

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