一、無窮小量
定義：設f在U0(x0)內有定義，若lim( x→x0 ) f(x)=0，則稱f為當x→x0時的無窮小量. 記作f(x)=o(1) (x→x0).
若函數g在U0(x0)內有界，則稱g為當x→x0時的有界量. 記作f(x)=O(1) (x→x0).
性質：1、兩個(相同類型的)無窮小量之和、差、積仍為無窮小量.
2、無窮小量與有界量的乘積為無窮小量.
例：當x→0時，x^2是無窮小量，sin(1/x)為有界量，所以
lim( x→0) x^2 sin (1/x)=0.
結論：lim( x→x0 ) f(x)=A=lim( x→x0 ) (f(x)-A)=0.
二、無窮小量階的比較
設x→x0時，f與g均為無窮小量.
1、若lim( x→x0 ) f(x)/g(x)=0，則稱當x→x0時，f為g的高階無窮小量，或稱g為f的低階無窮小量. 記作f(x)=o(g(x)) (x→x0).
2、若存在正數K和L，使得在某U0(x0)上有：
K≤|f(x)/g(x)|≤L或lim( x→x0 ) (f(x))/(g(x))=c≠0，
則稱f與g為當x→x0時的同階無窮小量.
例：(1)當x→0時，1-cos x與x^2皆為無窮小量.
又lim( x→0) (1-cos x)/x^2 =1/2.
所以1-cos x與x^2為當x→0時的同階無窮小量.
(2)當x→0時，x與x(2+sin(1/x))皆為無窮小量.
又1≤|2+sin (1/x)|≤3.
所以x與x(2+sin (1/x))為當x→0時的同階無窮小量.
若無窮小量f與g滿足關係式|f(x)/g(x)|≤L，x∈U0(x0).
則記作f(x)=O(g(x)) (x→x0).
當f(x)=o(g(x)) (x→x0)時，也有f(x)=O(g(x)) (x→x0).
o(g(x))={f|lim( x→x0 ) f(x)/g(x) =0}；
f(x)=o(g(x))，即f(x)∈{f|lim( x→x0 ) f(x)/g(x) =0}.
3、若lim( x→x0 ) f(x)/g(x)=1，稱f與g為當x→x0時的等階無窮小量.
記作f(x)~g(x) (x→x0).
註：不是任何兩個無窮小量階都可以進行比較，
如：當x→0時，x sin(1/x)和x^2都是無窮小量，但
它們的比(1/x) sin (1/x)或x/sin (1/x)當x→0時，都不是有界量，
所以不能進行階的比較。
定理3.12：設函數f,g,h在U0(x0)內有定義，且有f(x)~g(x) (x→x0).
(1)若lim( x→x0 ) f(x)h(x)=A，則lim( x→x0 ) g(x)h(x)=A；
(2)若lim( x→x0 ) h(x)/f(x)=B，則lim( x→x0 ) h(x)/g(x)=B.
證：(1) lim( x→x0 ) g(x)h(x)
=lim( x→x0 ) g(x)/f(x)·lim( x→x0 ) f(x)h(x)=1·A=A.
(2)lim( x→x0 ) h(x)/g(x)
=lim( x→x0 ) f(x)/g(x)·lim( x→x0 ) h(x)/f(x)=1·B=B.
例1：求lim( x→0) arctan x/sin (4x).
解：∵arctan x~x (x→0)，sin(4x)~4x (x→0).
∴lim( x→0) arctan x/sin (4x)=lim( x→0) x/(4x)=1/4.
例2：利用等價無窮小量代換求極限lim( x→0) (tan x-sin x)/(sin x^3 ).
解：tan x-sin x=sin x(1-cos x)/cos x，
∵sin x~x (x→0)，1-cos x~x^2/2 (x→0)，sin x^3~x^3 (x→0).
∴lim( x→0) (tan x-sin x)/(sin x^3 )=lim( x→0) 1/cos x·(x·x^2/2)/x^3 =1/2.