考研數學|變限積分函數無窮小的等價性

2021-01-08 老梁考研數學

在考研數學考題當中，極限問題及無窮小的階數比較問題為常考題型。而這些問題中又常常含有為無窮小量的變限積分函數。對這類問題，通常的解決方法是利用洛必達法則和變限積分求導來解答。但些時候，利用洛必達法則求解這類問題稍顯繁瑣，計算量很大，致使很多同學完成這類客觀題使用的時間甚至比解答題還多。那麼，有沒有更好的方法呢？老梁下面就詳細介紹有關這類問題的解決方法。

為了敘述簡潔、方便，我們假設：變限積分函數中的被積函數與積分限函數都是連續函數。

先介紹一個變限積分函數無窮小等價的一個定理。

【證明】

【評註】

為了解方法的有效性，上兩個例子。

本例，若用洛必達法則求解，求導麻煩，計算量很大。

【評註】

在考研數學中，幾乎所有的題都滿足定理二條件，無窮小的積分限函數可以等價替換。

實際上如果只是考查變限積分無窮小的階數，也用下面定理三，很容易由前面兩個定理證明。

【例3】中的各無窮小，

通過三個定理及相關例題，小夥伴們對變限積分無窮小等價性有了進一步的了解了嗎？為了幫助小夥伴掌握，給大家帶來一些習題進行練習，希望大家對照例題進行練習，熟練掌握這種方法，今年都能成功上岸！

【習題】

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