作者/ 賀為婷 楊建華 西安工業大學 電子信息工程學院(陝西 西安 710032)
本文引用地址：http://www.eepw.com.cn/article/201612/340860.htm摘要：為了準確直觀地觀測電路的動態變化過程，採用四種方法對一電路實例進行仿真分析：用積分法求解狀態方程，用拉普拉斯變換法求解s域的方程組，用數值積分函數求微分方程的數值解，構建微分方程的Simulink模型觀測響應曲線。四種方法的仿真結果完全一致且與電路理論相符。實驗結果表明，Matlab程序簡潔、可讀性強且計算結果準確，同時它形象直觀，改變參數方便，能夠彌補硬體實驗的不足。Matlab在電路理論學科研究與工程實踐中都具有很好的應用價值。
引言
高階動態電路的分析通常都歸結為高階微分方程或一階微分方程組的求解，需要微分方程和矩陣理論的相關知識，掌握起來比較困難。對於複雜的高階電路，用求解微分方程的方法則更加困難，一是列寫微分方程，二是根據變量及變量的各階導數的初始值確定積分常數。若藉助合適的仿真軟體，則可以使電路的分析變得方便、準確和直觀。電路仿真是電路分析及電路教學的重要手段，它形象直觀，改變參數方便，能夠彌補硬體實驗的不足[1]。
Matlab是目前最為流行的工程軟體之一，它具備強大的計算、仿真和繪圖功能，能方便地繪製二維、三維圖形和相量圖。運用該軟體，可以方便地研究各類系統問題，包括電路仿真分析。對於動態過程，用圖形來顯示會更加直觀，它可動態地演示複雜電路各參量的變化過程，從而加深對電路的理解和認識。對於動態過程中某時刻的情況可以有一個定量的認識，對工程上解決系統處在動態階段的問題有一定的指導意義[2]。
本文以求解圖1所示電路的電容電壓和電感電流為例，介紹四種基於Matlab的電路動態過程的分析方法。
1 積分法求解狀態方程
一個二階電路如圖1所示，開關K原來是打開的，電路已經穩定，uc(0)=1V，il(0)=2A。電源電壓及各元件的參數值標示於圖中。在t=0時，將開關K閉合，求t≥0時的電容電壓uc(t)及電感電流il(t)的變換規律[3]。
積分法求解狀態方程：如果一個系統的狀態描述方程為：
則該系統的狀態響應為：
其中。
對於圖1所示的電路，以電容電壓uc和電感電流il為狀態變量，則建立電路的狀態方程為：
編程求解狀態響應uc(t)與il(t)：
syms x1 x2 s t z ;
A=[-1/2,1;-1/2,-2]; Bu=[0;6];
X=[x1;x2];X0=[1;2];
Asi=eye(2)*s-A; % s*I-A;
AA=inv(Asi); % [s*I-A]-1;
eAt=ilaplace(AA); %e A t=L-1[([sI-A]-1];
eAtz=subs(eAt,t,t-z); %求eA(t-z);
X= eAt*X0+int(eAtz*Bu,z,0,t); % Bu= B*u(z);
uc=X(1), il=X(2)
運行程序得：
uc = 3*exp(-3/2*t)-6*exp(-t)+4
il = -3*exp(-3/2*t)+3*exp(-t)+2
即電容端電壓和電感中電流的解析解為：
積分法求解電路響應的過程是：以電容電壓和電感電流為狀態變量建立電路的狀態方程;根據狀態方程確定矩陣A、B;求矩陣指數eAt;根據方程式(2)求狀態變量的解析表達式，最後求出要求電量的解析表達式[4]。
2 用Matlab拉普拉斯變換法求解
時域分析法用於高階電路的分析計算時，確定初始條件和積分常數非常繁瑣。可採用拉普拉斯變換法來求解。將時域電路變換為復頻域電路，即運算電路[5]。在運算電路的基礎上，用與直流電阻電路相同的方法進行分析，建立s域描述方程。通過對s域方程的運算，得到電路中待求電量的象函數F(s)，對象函數F(s)進行拉氏反變換就得到對應的時域解f(t)。
圖1對應的運算電路如圖2所示，由運算電路得：
針對方程組(6)進行MATLAB編程：
syms t s;
A=[-1 4*s^2+8*s+2;2*s+1 -2];
B=[8*s+22;2];
AA=inv(A); %A的逆陣;
X=AA*B;
Us=X(1); %電容電壓的象函數;
Is=X(2); %電感電流的象函數;
Uc(t)=ilaplace(Us), il(t)=ilaplace(Is)
程序運行結果為：
Uc(t) =3*exp(-3/2*t)-6*exp(-t)+4
Il(t) =-3*exp(-3/2*t)+3*exp(-t)+2
該結果與方法1的結果完全一致，即電容電壓uc(t)和電感電流il(t)的解析表達式同式(5)。
3 用ODE函數求微分方程的數值解
基於龍格-庫塔法，MATLAB提供了一套求常微分方程數值解的函數，可以根據不同的對象選擇不同的算法。其函數格式如下：
[X,Y]=ode23(『f』,[x0,xn],Y0)
[X,Y]=ode45(『f』,[x0,xn],Y0)
其中：X，Y是兩個相量，X對應自變量x在求解區間[x0, xn]的一組採樣點，其採樣密度是自適應的，無需指定;Y是與X對應的一組解。f是一個M函數文件，代表待求解方程。[x0,xn]代表自變量的求解區間。Y0=Y(X0)，由方程的初值給定。函數在求解區間[x0,xn]內，自動設立採樣點向量X，並求出解函數Y在採樣點X處的樣本值[6]。
本文選用採用了四階、五階龍格-庫塔法的ode45函數，它採用自適應變步長的求解方法，即當解的變化較慢時，採用較大的步長，從而提高了計算速度;當解的變化較快時，步長會自動地變小，可以提高計算的精確度。
圖1的狀態方程為式(1)，初始條件為：uc(0)=1V，il(0)=2A，MATLAB程序如下：
function dy = myfun (t, y); % 將方程式定義為函數文件並取名存檔以便調用
dy= zeros(2,1); %變量y為兩行一列相量
dy(1)= -1/2*y(1)+ y(2);
dy(2)= -1/2*y(1)-2*y(2)+6;
[t,y]= ode45(『myfun』,[0,10],[1,2]); % 調用ODE函數並代入初始條件
t』; %轉置顯示自變量的一組採樣點
y(:,1)』;y(:,2)』;% 轉置顯示y(1)、y(2)與採樣點對應的一組數值解
uc= y(:,1);
il = y(:,2);
plot(t,uc,』linewidth』,1.5);%繪製uc波形，波形線寬為1.5
grid; set(gcf,』color』,』w』) % 打開網格;使輸出圖形的背景為白色
axis([0 10 0.8 4.2]); % 設定坐標軸的範圍
set(gca,'xtick',[0 2 4 6 8 10]); %設置x軸刻度標示
set(gca,'ytick',[1 2 3 4]); %設置y軸刻度標示
xlabel(『自變量t /s』) ; % x軸加注釋
ylabel(『因變量uc /v』); % y軸加注釋
title(『uc的波形』); % 圖形正上方加注釋
figure; %打開第二個圖形界面
plot(t,il,』linewidth』,1.5); %繪製il波形，波形線寬為1.5
grid; set(gcf, 『color』, 』w』);
axis([0 10 1.9 2.5]); %設定坐標軸的範圍
set(gca,'xtick',[0 2 4 6 8 10]);
set(gca,'ytick',[2 2.2 2.4]);
xlabel(『自變量t /s』);
ylabel(『因變量il /A』);
title(『il的波形』);
在此，由於篇幅有限，沒有顯示自變量的採樣點和與採樣點對應的數值解，而只是將解以圖形的方式輸出，如圖3和圖4。從結果看出，用數值積分ODE函數求解狀態方程簡單方便，易於理解和掌握。與其它語言程序相比，可大大節省編程時間[7]。
4 構建微分方程的simulink模型求解
對於形如y''=ay'+by+c的微分方程，構建simulink模型的核心思想是：y''經過積分得y'，y'經過積分得y，而y'、y經過代數運算又可得到y''。由微分方程式(4)得：
根據式(7)，可構建出圖5所示的simulink模型。其中用到兩個積分模塊、兩個求和模塊、兩個比例模塊和一個恆定模塊。兩個示波器用於輸出uc和il的圖形[8]。
simulink模型建成以後，要對uc和il設置初值：uc(0)=1V，il(0)=2A，雙擊uc模塊將初始值設為1V，雙擊il模塊將初始值設為2A。設置示波器的信號顯示範圍：scope1,t:0—10s,Y:0.8—4.2;scope2,t:0—10s,Y:1.9—2.5。
開始仿真：選擇simulation下的parameter命令，設置仿真的start time為0s，stop time為10s。最後選擇simulation下的start命令進行仿真，或擊模型窗口工具欄上黑色右三角圖標進行仿真。
雙擊示波器scope1和scope2，則會得到圖6和圖7，與圖3和圖4的uc和il曲線完全相同，即兩種仿真結果一致。
5 結論
通過本文介紹的幾種動態電路的分析方法看到：積分法求解動態電路，以電容電壓和電感電流為狀態變量建立電路的狀態方程，根據狀態方程求出狀態變量的解析表達式;用ODE函數求解微分方程組，對求解動態電路帶來了極大方便，並給出了解的直觀圖形;利用Matlab語言直接進行拉氏變換求解動態電路，大大提高了計算效率;而利用Matlab的Simulink功能得到了一種全新的求解暫態電路的思路。 Matlab的編程效率高、語言簡練、繪圖方便。運用Matlab可使電路的分析運算變得方便和快捷。運用Matlab語言編程和Simulink仿真的方法對複雜電路進行分析和計算，不僅可以節約計算時間、方便地調試電路參數，還可以通過圖形非常直觀地觀察到其響應的過渡過程[10]。所以Matlab在電路理論學科研究與工程實踐中都具有很好的應用價值。
參考文獻：
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本文來源於中國科技核心期刊《電子產品世界》2016年第11期第59頁，歡迎您寫論文時引用，並註明出處。