1、試用一致連續的定義證明：若f,g都在區間I上一致連續，則f+g也在I上一致連續.
證：∵f,g都在區間I上一致連續，
∴對任給的ε>0，分別存在正數δ1和δ2，
使對任何x』,x」∈I，只要|x』-x」|<δ1，就有|f(x』)-f(x」)|<ε/2；
只要|x』-x」|<δ2，就有|g(x』)-g(x」)|<ε/2；
取δ=min(δ1,δ2)，則只要|x』-x」|<δ，
就有|f(x』)-f(x」)|+|g(x』)-g(x」)|<ε，
又|[f(x』)+g(x』)]-[f(x」)+g(x」)]|=|[f(x』)-f(x」)]+[g(x』)-g(x」)]|
≤|f(x』)-f(x」)|+|g(x』)-g(x」)|，
∴對任給的ε>0，有正數δ，對任何x』,x」∈I，只要|x』-x」|<δ，
就有|[f(x』)+g(x』)]-[f(x」)+g(x」)]|<ε，∴f+g也在I上一致連續.
2、證明f(x)=√x 在[0,+∞)上一致連續.
證：∵f(x)=√x 在[0,+∞)連續，故對任意a>0，
f(x)在[0,a]上連續，且一致連續.
∴ε>0，總δ1>0，使任意x』,x」∈[0,a]，
當|x』-x」|<δ1時，有|f(x』)-f(x」)|<ε.
又對任意x』,x」∈[a,+∞)，
要使|√(x』)-√(x」)|=|x』-x」|/(√(x』)+√(x」))<|x』-x」|/(2√a)<ε，
只要取δ2=2ε√a，
則只要|x』-x」|<δ2時，就有|√(x』)-√(x」)|<ε.
取δ=min(δ1,δ2, a/2)，
當任意x』,x」∈[0,+∞)且|x』-x」|<δ時，總有
x』,x」∈[0,a]或x』,x」∈[a/2,+∞)，有|√(x』)-√(x」)|<ε.
∴f(x)=√x在[0,+∞)上一致連續.
3、證明：f(x)=x^2在[a,b]上一致連續，但在(-∞,+∞)上不一致連續.
證：ε>0，對任意x1,x2∈[a,b]，要使
|x1^2-x2^2|=|x1+x2|·|x1-x2|<2max(|a|,|b|)·|x1-x2|<ε.
只要取δ=ε/(2max(|a|,|b|))，則
當|x1-x2|<δ時，就有|f(x1)-f(x2)|<ε，
∴f(x)=x^2在[a,b]上一致連續。
取ε0=1，不管正數δ多麼小，只要n充分大，
總有x』=n+1/n，x」=n，使
|x』-x」|=1/n<δ，而|f(x』)-f(x」)|=|(n+1/n)^2-n^2 |=2+1/n^2 >ε0，
∴f(x)=x^2在(-∞,+∞)上不一致連續.
4、設函數f在區間上滿足利普希茨條件，即存在常數L>0，使得對I上任意兩點x』，x」都有|f(x』)-f(x」)|≤L|x』-x」|，證明 f在I上一致連續.
證：ε>0，總有正數δ=ε/L，使I上任意兩點x』，x」，
當|x』-x」|<δ時，就有|f(x』)-f(x」)|≤L|x』-x」|< L·δ=ε.
∴f在I上一致連續.
5、證明sinx在(-∞,+∞)上一致連續.
證：ε>0，對任意x』,x」∈(-∞,+∞)，
要使|sinx』-sinx」|≤|x』-x」|<ε，只需取δ=ε，
則當|x』-x」|<δ時，就有|sinx』-sinx」|<ε，
∴sinx在(-∞,+∞)上一致連續.