定理4.10：設a>0，m,n為任意實數，則有a^m·a^n=a^(m+n)，(a^m)^n=a^(mn).
證：1、先證明a^m·a^n=a^(m+n).
(1)當a=1時，有a^m·a^n=a^(m+n)=1.
(2)當a>1時，∵a^x=sup{ar|r為有理數} (r<x)，
∴ε>0，設r,s為有理數，且r<m, s<n，
使得a^m-ε<a^r，a^n-ε<a^s.
由ax的嚴格增性得a^(r+s)<a^(m+n).
又a^r·a^s =a^(r+s)，∴(a^m-ε)(a^n-ε)<a^(m+n)，
由ε的任意性推出a^m·a^n≤a^(m+n).
又取有理數p<m+n，使得a^(m+n) -ε<a^p.
再取有理數r,s使r<m, s<n，且p<r+s，
則有a^p<a^(r+s)=a^r·a^s<a^m·a^n，
故得a^(m+n) -ε< a^m·a^n.
由ε的任意性推出a^(m+n)≤a^m·a^n.
∴a^m·a^n=a^(m+n).
(3)當0<a<1時，∵ax=inf{ar|r為有理數} (r<x)，
使得a^m+ε>a^r，a^n+ε>a^s.
由ax的嚴格減性得a^(r+s)>a^(m+n). 又a^r·a^s =a^(r+s)，
∴(a^m+ε)(a^n+ε)>a^(m+n)，
由ε的任意性推出a^m·a^n≥a^(m+n).
又取有理數p<m+n，使得a^(m+n) +ε>a^p.
則有a^p>a^(r+s)=a^r·a^s>a^m·a^n，
故得a^(m+n) +ε>a^m·a^n.
由ε的任意性推出a^(m+n)≥a^m·a^n.
2、再證明(a^m)^n=a^(mn). 不妨設m>0，n>0.
(1)當a=1時，有(a^m)^n=a^(mn) =1.
(2)當a>1時，∵ax=sup{ar|r為有理數} (r<x)，
∴ε>0，設r,s為有理數，且m>r>0, n>s>0，
使得a^m-ε<a^r.
由a^x的嚴格增性得，a^(rs)<a^(mn).
又(a^r)^s =a^(rs)，∴(a^m-ε)^n<(a^r)^s =a^(rs)<a^(mn)，
由ε的任意性推出(a^m)^n≤a^(mn).
又取有理數p<mn，使得a^(mn) -ε<a^p.
再取有理數r,s使r<m, s<n，且p<rs，
則有a^p<a^(rs)=(a^r)^s<(a^m)^n，
故得a^(mn) -ε<(a^m)^n.
由ε的任意性推出(a^m)^n≥a^(mn).
∴(a^m)^n=a^(mn).
∴ε>0，設r,s為有理數，且r<m, s<n，使得a^m+ε>a^r.
由a^x的嚴格減性得a^(rs)>a^(mn). 又(a^r)^s =a^(rs)，
∴(a^m+ε)^n>(a^r)^s =a^(rs)>a^(mn)，
由ε的任意性推出(a^m)^n≥a^m^n.
又取有理數p<mn，使得a^(mn) +ε>a^p.
則有a^p>a^(rs)=(a^r)^s>(a^m)^n，
故得a^(mn)+ε>(a^m)^n. 由ε的任意性推出a^(mn)≥(a^m)^n.
若m<0或n<0，可設M= -m>0或N= -n>0，則有
(a^m)^n=[(a^M)^n]^(-1)=(a^(Mn))^(-1)=a^(mn)，
或(a^m)^n=[(a^m)^N]^(-1)=(a^(mN))^(-1)=a^(mn)，
或(a^m)^n=(a^M)^N=a^(MN)=a^(mn).
定理4.11：指數函數a^x(a>0)在R上是連續的.
證：令f(x)=a^x. 當a=1時，f(x)=1在R上連續.
當a>1時，lim( x→0) a^x=1=a^0，∴a^x(a>1)在x=0連續.
任取x0∈R，則a^x=a^(x0+(x-x0))=a^(x0 )·a^(x-x0 ).
令t=x-x0，則當x→x0時，有t→0，從而有
lim( x→x0 )a^x=lim( x→x0 )a^(x0 )·a^(x-x0 )
=a^(x0 ) lim( t→0) a^t=a^(x0 ).
∴a^x(a>0)在任一點x0連續，即a^x(a>1)在R上是連續的.
當0<a<1時，令b=1/a>1，而a^x=(1/b)^x=b^(-x).
∵u=-x與b^u(b>1)在R上都連續，
∴b^(-x)(b>1)在R上連續，即a^x(0<a<1)在R上連續.
∴指數函數a^x(a>0)在R上是連續的.
例1：設lim( x→x0 ) u(x)=a>0，lim( x→x0 ) v(x)=b.
證明：lim( x→x0 )u(x)^v(x)=a^b.
證：若u(x0)≠a或v(x0)≠b，補充定義u(x0)=a，v(x0)=b.
則u(x), v(x)在x0都連續.
從而v(x)ln u(x)在x0也連續，即有
lim(x→x0 ) v(x)ln u(x)=v(x0)ln u(x0)，
又lim(x→x0 ) v(x)ln u(x)= lim( x→x0 ) ln u(x)^v(x)
=lnlim( x→x0 ) u(x)^v(x)；
v(x0)ln u(x0)=ln u(x0)^v(x0)=ln a^b；
∴lnlim( x→x0 ) u(x)^v(x)= ln a^b；
∴lim( x→x0 )u(x)^v(x)=a^b.