LDA數學八卦:神奇的Gamma函數(1)

2021-01-20 AINLP

1. 神奇的Gamma函數
1.1 Gamma 函數誕生記
學高等數學的時候，我們都學習過如下一個長相有點奇特的Gamma函數

通過分部積分的方法，可以推導出這個函數有如下的遞歸性質

於是很容易證明， 函數可以當成是階乘在實數集上的延拓，具有如下性質

學習了Gamma 函數之後，多年以來我一直有兩個疑問：

最近翻了一些資料，發現有不少文獻資料介紹 Gamma 函數發現的歷史，要說清楚它需要一定的數學推導，這兒只是簡要的說一些主線。

1728年，哥德巴赫在考慮數列插值的問題，通俗的說就是把數列的通項公式定義從整數集合延拓到實數集合，例如數列 可以用通項公式 自然的表達，即便 為實數的時候，這個通項公式也是良好定義的。直觀的說也就是可以找到一條平滑的曲線通過所有的整數點，從而可以把定義在整數集上的公式延拓到實數集合。一天哥德巴赫開始處理階乘序列 ,我們可以計算 , 是否可以計算 呢？我們把最初的一些 的點畫在坐標軸上，確實可以看到，容易畫出一條通過這些點的平滑曲線。



但是哥德巴赫無法解決階乘往實數集上延拓的這個問題，於是寫信請教尼古拉斯.貝努利和他的弟弟丹尼爾.貝努利，由於歐拉當時和丹尼爾.貝努利在一塊，他也因此得知了這個問題。而歐拉於1729 年完美的解決了這個問題，由此導致了 函數的誕生，當時歐拉只有22歲。

事實上首先解決的插值計算問題的是丹尼爾.貝努利，他發現，
如果 都是正整數，如果 ，有

於是用這個無窮乘積的方式可以把的定義延拓到實數集合。例如，取 , 足夠大，基於上式就可以近似計算出 。

歐拉也偶然的發現 可以用如下的一個無窮乘積表達

(1)

用極限形式，這個式子整理後可以寫為

(2)

左邊可以整理為

所以 (*)、(**)式都成立。

歐拉開始嘗試從一些簡單的例子開始做一些計算，看看是否有規律可循，歐拉極其擅長數學的觀察與歸納。當 的時候，帶入(*)式計算，整理後可以得到

然而右邊正好和著名的 Wallis 公式關聯。Wallis 在1665年使用插值方法計算半圓曲線 下的面積(也就是直徑為1的半圓面積)的時候，得到關於的如下結果，

於是，歐拉利用 Wallis 公式得到了如下一個很漂亮的結果

大數學家歐拉

歐拉和高斯都是具有超凡直覺的數學家，但是歐拉和高斯的風格迥異。高斯是個老狐狸，數學上非常嚴謹，發表結果的時候卻都把思考的痕跡抹去，只留下漂亮的結果，這招致了一些數學家對高斯的批評；而歐拉的風格不同，經常通過經驗直覺做大膽的猜測，而他的文章中往往留下他如何做數學猜想的痕跡，而文章有的時候論證不夠嚴謹。 拉普拉斯曾說過：」讀讀歐拉,他是所有人的老師。」波利亞在他的名著《數學與猜想》中也對歐拉做數學歸納和猜想的方式推崇備至。

歐拉看到 中居然有 , 對數學家而言，有 的地方必然有和圓相關的積分。由此歐拉猜測 一定可以表達為某種積分形式，於是歐拉開始嘗試把 表達為積分形式。雖然Wallis 的時代微積分還沒有發明出來，Wallis 是使用插值的方式做推導計算的，但是Wallis 公式的推導過程基本上就是在處理積分 ，受 Wallis 的啟發，歐拉開始考慮如下的一般形式的積分

此處n 為正整數， 為正實數。利用分部積分方法，容易得到

重複使用上述迭代公式，最終可以得到

於是歐拉得到如下一個重要的式子

接下來，歐拉使用了一點計算技巧，取 並且令 ,
然後對上式右邊計算極限(極限計算的過程此處略去，推導不難，有興趣的同學看後面的參考文獻吧)，於是歐拉得到如下簡潔漂亮的結果：

歐拉成功的把表達為了積分形式！如果我們做一個變換 ,就可以得到我們常見的Gamma 函數形式

於是,利用上式把階乘延拓到實數集上，我們就得到 Gamma 函數的一般形式

Gamma 函數找到了，我們來看看第二個問題，為何 Gamma 函數被定義為 , 這看起來挺彆扭的。如果我們稍微修正一下，把Gamma 函數定義中的 替換為

這不就可以使得 了嘛。歐拉最早的Gamma函數定義還真是如上所示，選擇了，可是歐拉不知出於什麼原因，後續修改了 Gamma 函數的定義，使得。 而隨後勒讓德等數學家對Gamma 函數的進一步深入研究中，認可了這個定義，於是這個定義就成為了既成事實。有數學家猜測，一個可能的原因是歐拉研究了如下積分

這個函數現在稱為Beta 函數。如果Gamma 函數的定義選取滿足 , 那麼有

非常漂亮的對稱形式。可是如果選取 的定義，令

則有

這個形式顯然不如 優美，而數學家總是很在乎數學公式的美感的。

要了解更多的 Gamma 函數的歷史，推薦閱讀

Philip J. Davis, Leonhard Euler’s Integral: A Historical Profile of the Gamma Function

Jacques Dutka, The Early History of the Factorial Function

Detlef Gronnau, Why is the gamma function so as it is?



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