【數學】對數函數

對數的出現的作用一句話概括來說：就是讓天文家的壽命延長了數年。為什麼這麼說呢？17世紀正處於數學發展史的第三時期-變量數學時期。到今天依舊帶著17世紀溫度的羊皮紙留下了複雜的圖形和對數方程。這也說明了當時指數函數還並沒有出現。17世紀的歐洲，由於航海和天文學的發展，計算越來越複雜，處理的的數字也越來越大。為了回應這個時代的呼應，對數作為計算工具被納皮爾發明。 

納皮爾編寫了歷史上第一張對數表，也揭開了對數神秘的面紗：化乘除為加減，化乘方開方為乘除，將高級運算降為次級運算。毫無疑問在沒有計算器的時代，手頭上有一張對數表，就可以快的速度進行各種運算。據說那個年代的工程師會將對數表或對數計算尺傳給自己即將上大學的子女。其重要地位可以類比為我們這個年代在上學時必買的計算器。所以說對數的發現以其節省勞力而延長了天文學家的壽命。

今年J胖為你介紹的是留考中的對數。

一般的，對數函數是以真數（冪）為自變量，指數為常量的函數。（如果ax=N（a>0，且a≠1），那麼數x叫做以a為底N的對數，記作x=logaN，讀作以a為底N的對數，其中a叫做對數的底數，N叫做真數。）看到括號裡的附加條件是不是很眼熟，對數函數實際上就是指數函數的反函數，可表示為x=ay。因此指數函數裡對於a的規定，同樣適用於對數函數。

對數的運算法則

兩個正數的積的對數，等於同一底數的這兩個數的對數的和,即

  log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N) 

兩個正數商的對數，等於同一底數的被除數的對數減去除數對數的差,即

  log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N)

一個正數冪的對數，等於冪的底數的對數乘以冪的指數,即

  log(a)(M^n)=n.log(a)(M)

中冪指數則有以下的正數的算術根的對數運算法則:一個正數的算術根的對數,等於被開方數的對數除以根指數,即

  log(a^n)M1/n.log(a)(M)

 

（留考常見，內容簡單）

第一步：先根據真數大於零，求出x的範圍區間。第二步：利用換底公式，將log的底數換成相同的三分之一，第三步：根據log的運算法則將不等式兩邊整理，由於底數為三分之一，是小於1的。所以整理關於真數的不等式時，符號要從小於等於變成大於等於。最後根據兩個關於x的不等式推出x的範圍。

 （留考常見，內容適中）

關於用等號連接的指數的問題，一般情況都是將其變成對數的做法。同時將其變為以10為底的log的形式。log以10為底，真數是10的時候。其結果為1，等式可以分成兩個部分x和z的關係以及y和z的的關係。如圖所示：1/x，1/y。最後兩邊相加得到答案。

 

 （留考常見，難度適中）

第一問是求A+C的值，對數相加可以變成真數相乘的形式，通過換底公式可以得出log以三為底4為真數的對數乘log以四為底3為真數的對數，等於一。第二問比較A，B，C的大小。可以先得出A,B,C與零之間的關係得到最小的為C，接著利用作差法以及對數運算法則的性質求出A，B的大小關係。

 

今天的我們解題之所以這麼快，並不是我們對數學了解的有多麼透徹，我們雖渺小，但是站在了巨人的肩膀上。

17世紀，也正是哥白尼提出了太陽中心說的那個世紀。由於常量數學的局限性，天文學的崛起也迅速碰到了瓶頸。天文數字耗費了天文學家們寶貴的時間。納皮爾在指數概念尚未形成的時期，通過直線運動得出了對數概念。是當之無愧的對數締造者。恩格斯曾把笛卡爾的坐標，牛頓，萊布尼茨的積分以及納皮爾的對數稱為17世紀三大數學發明。納皮爾無愧於對數之父之名，永遠的活在了後世人心中。

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