被拉普拉斯評價為延長了天文學家壽命的對數函數——圖解數學系列

2021-01-08 遇見數學

笛卡爾的直角坐標系, 納皮爾(John Napier)的對數, 牛頓和萊布尼茨的微積分是十七世紀最偉大的三大發明. 其中對數的發現，曾被18世紀法國大數學家拉普拉斯評價為"用縮短計算時間在實效上讓天文學家的壽命延長了許多倍".

為什麼會有這種說法呢? 那是因為在那個時代, 特別對天文學而言, 對數的出現使得複雜易錯的計算變得簡單可靠, 並且在便攜計算器和計算機發明之前, 它一直被廣泛應用在數學計算之中, 也是數學家的基本技能. 這次讓我們來看下對數以及如何用它來簡化計算.

01 對數函數 Logarithm【Definition】

對數依賴於底數和真數, 這樣表示:

指數與對數是互逆關係, 兩者在數學中都是非常重要的. 從下面圖形中可以看到左邊為指數表達, 右邊則是對數表達結構:

02 函數動畫 Logarithm【Animation】

那麼對數的圖像在定義域內, 究竟是怎樣變化呢? 請觀察下面一系列取不同底數時候對數的函數圖像, 注意當 a >0 時在不同範圍內如何變化:

觀察要點:

函數必經過點 (1,0) 處;當 0 < a < 1 時, 函數為嚴格單調下降, 且隨著增大, 下降速度增大;當 a > 1 時, 函數為嚴格單調上升, 但隨著變大, 增大速度越來越小;

指數與對數是互逆函數, 現在用動畫的方式來對指數和對數來進行一個對比:

觀察要點:

對稱軸為 y = x ;指數函數必經過(0,1) 點;對數必經過(1,0)點;

03 偉大的對數表 【Logarithm Tables】

現在我們回過頭再來解釋下為什麼拉普拉斯說對數為"用縮短計算時間在實效上讓天文學家的壽命延長了許多倍".

原因就是在於當時哥白尼的"日心說剛剛被學界接受, 天文學家為了研究星球軌道需要進行大量的乘法計算. 但是由於數字太大, 為了得到一個結果, 往往需要花費很大的精力手工計算 很長的時間. 而利用對數的性質可以將乘除轉為加減運算, 這個發現當時震動了整個數學界.

我們來看看怎樣利用對數的性質來簡化計算, 簡單來講是將注意力從需要參與計算的數轉移到了冪的部分, 只要底數相同, 利用下面的運算性質就能使得計算變得簡便.

對數運算性質 | 圖自維基

以計算 512 x8192 為例看下整個計算的過程. 下面圖形是底數為 2 對應的冪以及相對應的結果, 類似這樣的映射關係是人們可以直接從《常用對數表》直接查詢到的.

想要求出 512 x 8192 的結果, 需要查 512 所對應的指數為 9, 而 8192 對應 13.

然後可以輕鬆計算出 9 + 13 = 22, 再去《對數表》中反向去查 22 所對應的值, 就得到結果為 4194304 .

上面是把兩個大數(512 x8192)的乘法轉化成加法(9+13)藉助查表算出結果, 類似除法運算也可以轉成減法來做. 加減法當然要比乘除法更容易的多, 所以說這是一個偉大的簡化數值計算方法. 下面就是《常用對數表》的圖片:

20世紀的常用對數表的一個實例(圖自維

最後附文中所提及數學家的時間軸線圖:

參考資料: 維基百科

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