原創 伊恩·斯圖爾特 返樸
點擊上方藍字「返樸」關注我們，查看更多歷史文章
每年的3月14日也被稱為「 π 日」，這自然是因為 π ≈ 3.14。在與圓相關的場景中，我們總是與 π 這個數學常數不期而遇。不過仔細思考後你可能會發現，我們對 π 這個大名鼎鼎的無理數可謂是既熟悉又陌生：π 是如此重要的數，我們卻無法將它寫下來；當我們將 π 的精度計算到上億位之後，仍然不知道這些數字背後是否隱藏著某種規律……
撰文 | 伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart）
譯者 | 何生
一在計算圓的周長和面積時，我們第一次遇到了π。假設圓的半徑是 r，那麼其周長等於 2πr ，面積等於 πr2 。在幾何上，周長和面積這兩個量並沒有直接關係，所以，在這兩個地方都出現了同一個 π，其實是相當不尋常的。有一種直觀的方法可以理解為什麼會這樣：先將圓像匹薩一樣分割成許多切片，然後把它們重新組成一個近似於長方形的形狀（圖1）。這個長方形的寬約等於圓的周長的一半，即πr，而它的高約為r。因此，它的面積可以近似為 πr × r =πr2 。
圖1. 近似的圓的面積。| 來源：piday.org
不過，這只是一種近似。也許，與周長和面積有關的數非常相近，但並不完全相等。然而，這似乎並不可能，因為不管切片分得多細，論證過程總是說得通的。如果我們用大量非常細的切片，近似將變得極其精確。事實上，通過分出任意多的切片，實際的圓和構造出來的長方形之間的誤差會變得任意小。利用數學裡的極限概念，可以證明這個面積公式是正確且精確的。這就是同一個數會出現在圓的周長和面積裡的原因。
在這裡，取極限的過程也定義了所謂的面積。面積並不像我們想像的那麼簡單。通過把多邊形分割成三角形，可以定義多邊形的面積，但是，由曲線構成的圖形就不能如此分割。邊長是不可公約的長方形的面積，也沒那麼簡單。問題不在於規定「什麼是面積」——它只是將相鄰兩邊相乘，難點在於，如何證明計算結果的性質與面積應有的性質是一致的。例如，如果把圖形合在一起，那麼新圖形的面積應該是它們的面積相加的和。學校裡教的數學會快速地略過這些問題，並且希望沒人會注意到它們。
數學家們為什麼用一個晦澀的符號來表示一個數呢？為什麼不把這個數直接寫出來呢？在學校裡，我們經常學到 π=22/7 ，但認真的老師會說明它只是近似的。那麼，我們為什麼不用一個精確的分數來表示 π 呢？因為這樣的分數不存在。
π 是無理數中最著名的例子。就像根號2一樣，無論分數有多複雜，都不能用來精確地表示 π。證明這一點非常難，但數學家們知道如何做到。為此，我們肯定需要一個新符號，因為常規的數字符號無法精確地寫出這個特別的數。由於 π 是在整個數學領域裡最重要的數之一，因此我們需要有一種方式來明確表示它。這個方式就是用希臘話中「周長」一詞的第一個字母「π」。
真是造化弄人：π 是如此重要的數，我們卻無法寫下來，除非用非常複雜的公式。這也許是個麻煩事兒，但它的確迷人，同時也為 π 增添了幾分神秘。
二我們第一次遇到 π 時，大多與圓有關。圓是一種基本的數學圖形，因此，與圓有關的任何事情都是值得知曉的。圓有許許多多有用的應用。2011 年，僅在日常生活的一個方面，圓的使用數量就超過了 50 億，因為在那一年，全球汽車的保有量超過了裡程碑式的 10 億輛，而當時一輛典型的汽車有 5 個輪子——4 個在跑、1 個備用。（如今，備用的常常是補胎工具包，這樣做不僅省油，而且備置起來也更便宜。）當然，從墊圈到方向盤，在汽車裡還有許多其他的圓。至於在自行車、卡車、公共汽車、火車、飛機機輪等地方出現的那些圓，則更不在話下。
輪子是圓的一種幾何應用。輪子被做成圓形，是因為圓上的每個點與中心的距離都相等。如果你在圓形輪胎的中心裝上一根軸，它就能在平坦的路面上平穩地滾動。但是，圓還會在別的許多地方出現。池塘裡的漣漪是圓的，彩虹的彩色弧線也是圓的（圖2和圖3）。行星的軌道也大致是圓的——精確一點的說法是，這些軌道是橢圓的，而橢圓是一種在某個方向上被壓扁的圓。
圖2. 漣漪 | 來源：wikipedia
圖3. 彩虹——一段圓弧 |來源：wikipedia
然而，在完全不懂π為何物的情況下，工程師也能很好地設計出輪子。π的真正意義是理論性的，而且非常深奧。數學家們在圓的基本問題裡第一次遇到了π。圓的大小可以由三個關係密切的數描述：
圓的半徑——從圓心到任意圓上的點之間的距離；
圓的直徑——圓的最大寬度；
圓的周長——圓自身整整一圈的長度。
其中，半徑和直徑之間的關係很簡單：直徑是半徑的 2 倍，半徑是直徑的一半。
周長和直徑之間的關係就沒那麼簡單了。如果在圓上畫一個內接正六邊形，會讓人覺得圓的周長要比直徑的 3 倍更長一些。在圖4中有6條半徑，每兩條配在一起後可以得到3條直徑。正六邊形的周長與6條半徑相等，也就是3條直徑的長度。很明顯，圓的周長要比正六邊形的周長更長。
圖4. 為什麼π比3大
π 的定義是：圓的周長除以它的直徑。無論圓有多大，這個數的值都是一樣的，因為圓形在放大或縮小時，其周長和直徑保持相同的比例。大約在 2200 年前，阿基米德給出了一個完整的邏輯證明，證明指出，對於任意的圓而言，這個數是一樣的。
畫圓的內接正六邊形，並將邊數從6依次變為12、24、48，最終到96，阿基米德藉此得到了一個相當精確的π值。他證明了 π 介於
和
之間。用小數表示的話，這兩個數值分別是 3.141 和 3.143。（阿基米德使用的是幾何圖示，並不是實際數字。而且，他想到了我們如今在幾何術語裡被稱為π的那個東西，因此，π是對他實際工作的現代化解讀。古希臘人並沒有小數記數法。）只要把用來近似圓的多邊形的邊數翻足夠多倍，阿基米德計算 π 的方法就能算出我們想要的任意精度。後來，數學家們又發現了一些更好的方法，下文將會講到。
圖5. 阿基米德通過構造圓的內接多邊形和外切多邊形來逼近π的下界和上界。| 來源：piday.org
π 的前 1000 位是：
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420199
看看這些數字，它們最顯著的特點就是完全沒有規律。這些數字看起來是隨機的，但事實上不可能，因為它們是 π 各個數位上的數字，而 π 本身是一個特定的數。缺乏規律性，更讓 π 這個數顯得異常奇特。數學家們猜測，所有有限長度的數字串都會出現在以小數表示的 π 的某個位置上，甚至會無限多次出現。事實上，人們猜測 π 是一個正規數，即所有給定長度的數字串會以相同頻率在其中出現。這些猜想尚未被證明或證否。
三π 也會出現在其他數學領域裡。這些領域與圓之間往往沒有明顯的聯繫，但總會存在某個間接聯繫，因為這中間產生了π。同時，這也是其他定義π的方式。因為所有定義都必須得到同一個數，因此，沿著這條線索必然會證明出與圓有關的關係。但是，這種關係可能非常曲折。
例如，歐拉在 1784 年發現了數 π、e 和 i（即 - 1 的平方根）之間的關係。這個優雅的公式是：
歐拉還注意到，對某些無窮級數求和也能得到 π。1735 年，他解決了巴塞爾問題。這個問題是由彼得羅·門戈利在1644年提出的，旨在計算所有平方數的倒數之和。當時，曾有許多偉大的數學家試著去計算，但都沒成功。歐拉在 1735 年算出了一個相當簡潔的結果：
這一發現讓歐拉在數學界聲名鵲起。你能說出它和圓之間的關聯嗎？反正我是不知道。其中的聯繫不可能很直觀，因為很多頂尖數學家都無法解決巴塞爾問題。實際上，它和正弦函數有關，但第一眼看上去，正弦函數與這個問題也沒什麼聯繫。
對四次方、六次方，乃至更一般的偶數次方而言，利用歐拉的方法可以得到類似的結論。例如，
如果只有奇數或偶數的話，也會有：
但是，對像三次方和五次方等奇數次方而言，則沒有類似的公式，而且，人們猜想這樣的公式根本不存在。
值得注意的是，這些級數及其相關問題與質數和數論之間有著很深的聯繫。例如，如果隨機選取兩個整數，那麼它們沒有（大於1的）公因數的概率是：
這是歐拉級數之和的倒數。
還有一個不可思議的地方也出現了π，那就是統計學。著名的「鐘形曲線」的方程是：
這條曲線下方的面積正好等於根號π （圖6）。
許多數學物理方程也和 π 有關。數學家們還發現了大量具有 π 的顯著特徵的方程。
圖6. 鐘形曲線
四2013 年，在經過 94 天的計算之後，近藤茂利用計算機將π算到了12 100 000 000 050 位小數——超過了 12 萬億位。實際使用的π並不需要這種級別的精度。你也不可能用它來測量真實的圓。多年以來，人們有許多計算π的方法，它們都基於 π 的公式，或是如今用公式表示出的各種過程。
人們熱衷於做這類計算，他們的理由是為了了解這些公式的表現情況，或者確認新計算機的性能。但實際上，大家更多是為了打破紀錄。一些數學家沉迷於計算π的更多位數，只是因為它們「存在」，這就好像山峰與登山者之間的關係。這種痴迷於「打破紀錄」的行為並不是典型的數學研究，其本身幾乎沒什麼意義和實用價值，但通過這類活動，人們發現了一些全新的迷人公式，並揭示出了數學和其他領域之間一些意想不到的聯繫。
（1）π 作為極限
通常，π的公式都涉及無窮的過程，只要執行的次數足夠多，π就能得到很好的近似值。繼阿基米德之後，人們在15世紀首次取得了進步。當時，古印度數學家用無窮級數之和來表示 π，這是一種將各項不斷累加的求和過程。如果級數總和的值越來越接近一個明確的數（即它的極限），那麼它就可以用來計算越來越精確的近似值，比如這些公式就是如此。一旦所需的精度得到滿足，那麼計算就可以停止。
1400 年左右，桑加馬格拉瑪的瑪達瓦利用一種級數把π計算到 11 位。1424 年，波斯人賈姆希德·卡希對它做了改進，他像阿基米德那樣，採用增加多邊形的邊數的方法做近似。卡希通過計算 3 × 228 邊形，得到了 π 的前16 位。
阿基米德用來近似π的方法還啟發了弗朗索瓦·維埃特，他於 1593年寫下了π的一種新公式：
這裡的點表示乘號。到 1630 年時，克裡斯託夫·格裡恩貝格爾用多邊形方法把位數推進到了 38 位。
1655 年，約翰·沃利斯發現了一種不一樣的公式：
它用一種十分複雜的方法計算了半圓形的面積。
1641 年，詹姆斯·格雷戈裡重新發現了瑪達瓦用於計算π的一種級數。格雷戈裡的主要思路是用三角函數裡的正切函數，記作 y = tan x 。在弧度表示法裡，45° 角等於 π/4， 此時 a = b，因此有 tan (π/4) = 1 （圖7）。
圖7. （左）正切tan x = a/b ; （右）當x= π/4時，它的正切為 a/a =1 。
現在，讓我們考慮正切函數的反函數，通常被記為 y = arctan x 。它表示「還原」正切函數，也就是說，如果 y = tan x ，那麼 x = arctan y ，因此有arctan1 =π/4 。瑪達瓦和格雷戈裡發現了關於 arctan y 的無窮級數：
設 y = 1 ，可以得到
1699年，亞伯拉罕·夏普利用這個公式將π計算到71位，但這個級數收斂得很慢，也就是說，你必須算許多項才能得到一個比較好的近似值。1706 年，約翰·馬欽利用 tan (x+y) 的三角公式證明了
接著，他把 1/5 和 1/239 代入表示 arctan x 的級數。這些數字比1小很多，因此級數收斂得很快，也更實用。馬欽用他的公式將π計算到100位。1946年，丹尼爾·弗格森將這種思想推到極致，他採用了一個類似卻又不一樣的公式，將π計算到620位。
馬欽的公式還有許多精緻的變體，事實上，這類公式有一套完整的理論。1896 年，F. 施特默發現了公式：
許多更令人印象深刻的現代公式都源於這個公式。由於它有許多大分母，因此收斂速度快很多。
至此，再沒有人打破過紙筆計算的紀錄。但是，機械計算器和電子計算機令計算速度更快，差錯也更少。我們再來看看人們找到的那些只需少數幾項就能得到非常好的近似值的計算公式。由達維徳和格雷戈裡·丘德諾夫斯基兄弟發現的丘德諾夫斯基級數
其每項都能貢獻14位新小數。在這裡，求和記號∑代表對k的表達式求和，其中k等於從0開始的所有整數。
（2）二進位表示中的 π
還有許多其他計算π的方法，並且新方法還在不斷地被發現。1997年，法布裡斯·貝拉爾公布了π的第一萬億位小數，這個數用二進位表示的話是1。令人驚訝的是，貝拉爾並沒有計算前面的數字。1996 年，戴維·貝利、彼得·博溫和西蒙·普勞夫發現了一個很奇妙的公式：
貝拉爾採用了類似的公式，它在計算中更有效：
通過熟練地分析可知，這一方法可以給出單個位數上的二進位數值。公式的關鍵特徵是，其中的許多數，如 4、32、64、256、 24n 和 210n ，都是2的指數次方，它們可以非常簡單地在計算機內部使用二進位表達。尋找 π單個位數上的二進位數值，這一紀錄很容易被打破：2010 年，雅虎的施子和計算了π的第 2000 萬億位小數，其結果是 0。
這個公式還可以被用於單獨計算基底為 4、8 和 16 的 π 的單個位數上的數值。基於其他基底的公式尚未被發現。尤其是，我們無法單獨計算十進位 π 的單個位數上的數值。這類公式存在嗎？在貝利–博溫–普勞夫公式發現之前，也沒人覺得在二進位裡會有可以計算單個位數上的值的公式。
五古希臘人尋找過一種化圓為方的幾何作圖法。所謂「化圓為方」是指已知圓形的面積，求作與其面積相同的正方形的邊。人們最終證明，它和三等分角和倍立方體一樣，僅用尺規作圖是無法做到的。證明的關鍵是知道π是哪種數。
我們已經知道，π不是有理數。有理數的下一類是代數數，它滿足係數是整數的多項式方程。例如，是代數數，它滿足方程 x2 = 2。不是代數數的實數被稱為超越數，而第一個證明了π是無理數的蘭貝特在1761年猜測，π實際上是超越數。
時隔112 年，查爾斯·埃爾米特於1873 年在這個問題上取得了第一次重大突破，他證明了，在數學裡的另一個奇妙數——自然對數的底e是超越數。1882年，費迪南德·馮·林德曼通過改進埃爾米特的方法，證明了如果一個非零數是代數數，那麼e的該數次方也是超越數。接著，他利用了歐拉公式，即eiπ =−1 。如果π 是代數數，那麼iπ 也是。因此，根據林德曼定理可知，−1不滿足代數方程。然而，它顯然是滿足代數方程的，如方程 x+1= 0。唯一避免這一邏輯矛盾的方法就是，π不滿足代數方程，也就是說，它是超越數。
這個定理帶來的一個重要影響就是，它解答了化圓為方這個古代幾何問題。該問題討論了，如何只用直尺和圓規構造一個與圓形面積相同的正方形。這等價於利用長度為1 的線段構造出長度為π的線段。根據解析幾何，用這種方法構造出來的數必須是代數數。由於π不是代數數，所以這種構造方法不存在。
但是，即便在今天，這一結論並沒有讓某些人停止尋找尺規作圖的方法。這些人似乎不明白，數學上的「不可能」意味著什麼。這個困惑長久以來一直存在。1872 年，德摩根寫了一部名為《悖論集》（A Budget of Paradoxes）的著作，他在書中指出了許多所謂「化圓為方」方法的錯誤，並把它們比作成群的蒼蠅在大象周圍飛舞，嗡嗡地叫著「我比你大」。但在 1992 年，安德伍德·達德利在《數學狂怪》（Mathematical Cranks）一書裡仍繼續著尺規作圖的任務。他想盡辦法用其他工具探索如何在幾何上近似π，希望找到構造它的方法。但請你明白，嚴格來說，傳統意義上的尺規作圖方法是不存在的。
本文經授權選自《不可思議的數》，略有修改。點擊下方小程序或「閱讀原文」可購買此書。
作者簡介
伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart），數學家，英國皇家學會會員，曾獲英國皇家學會的「法拉第獎章」。他著有多部優秀的暢銷數學科普作品，如《改變世界的十七個方程》《數學萬花筒》系列等。
特 別 提 示
1. 進入『返樸』微信公眾號底部菜單「精品專欄」，可查閱不同主題系列科普文章。
2. 『返樸』提供按月檢索文章功能。關注公眾號，回復四位數組成的年份+月份，如「1903」，可獲取2019年3月的文章索引，以此類推。
版權說明：歡迎個人轉發，任何形式的媒體或機構未經授權，不得轉載和摘編。轉載授權請在「返樸」微信公眾號內聯繫後臺。
原標題：《3.1415926...，然後呢？｜展卷》
閱讀原文