數學的奧秘：用微積分可以快速計算出自然數的任意次方之和

2020-07-14 電子通信和數學領域

如下是一個簡單的1到10的自然數之和：你口算就可以得出結果

數學的奧秘：用微積分可以快速計算出自然數的任意次方之和

如果用簡單的幾何原理來表示，則每個數字都可以用單位正方形表示出來，1個正方形表示1，2個正方形表示2，3個正方形表示3........，那么正方形的面積就是

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但是上述的計算。少了n個正方形的一半，所以要加上10/2=5，其結果就是1到10的自然數之和

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那麼對於1到100的所有自然數之和等於多少呢？同理，採用上述方法，其結果就是5050，這正是天才數學家高斯8歲時所得到的結果

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我們將其上升到一個高度，計算1到n的所有自然數的平方之和

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我們同樣用幾何方法來描述這一原理，只是將單位正方形換成了單位立方體，第一層表示1^2，第二層表示2^2 ,第三層表示3^2........

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上述圖形類似一個四稜錐，稜錐的體積公式就是n^/3

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我們同樣來計算1到n的立方之和，當然這是非常困難的

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不用擔心，我們仿照幾何原理，第一個表示邊長為1的立方體，第二個表示邊長為2的立方體，第三個表示邊長為3的立方體.......最後一個表示邊長為n的的立方體，最終形成了一個超級立方體。

參照上述幾何原理，這個超級立方體的體積就是n^4/4，

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上述一系類的推導，就可以推導出1到n的k次方之和約等於

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這正好對應x^k的積分公式

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所以數學的奧妙非常值得我們去探索，因為你會得到意想不到的結果

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