撰文： 士
你或許在高考中接觸過導數，你也許知道利用分割成梯形的方法求面積。你也許聽說過微積分改變世界的重要性；聽說過微積分駭人聽聞的掛科率；也聽說過隨之而來的「高數老師帶著我們在知識的海洋裡遨遊，最後只有他自己上了岸」這類的段子。但是它真的像你所見的那樣嗎？現在，這是一次讓你步入微積分大門的絕佳機會。
微積分是微分學與積分學的統稱，它是一件數學工具。像任何一件工具的發明一樣，人們的需求與好奇心是一切開始的地方。從崇尚幾何之美古希臘時代開始，人們便對圖形周長與面積，表面積與體積的計算產生了濃厚的興趣。從圓的面積開始，人們邁出了使用無窮數列和求幾何圖形面積的第一步，如歐幾裡得《幾何原本》中的窮竭法，便是用內切正多邊形的面積與一系列三角形面積之和去逼近圓的面積，使其無限接近。之後，阿基米德進一步使用這種方法，求出了斜邊為拋物線的曲邊直角三角形的面積，以及由阿基米德螺線ρ=αθ圍成的圖形面積。這些思想與概念為後世留下了重要的啟示，也是後來積分學的雛形。
另一個令人著迷的問題則是曲線的切線，如圓的切線一般，這些切線往往有著令人神往的性質，而吸引古希臘學者的領域，則是平面圖形切線的做法。雖然在這方面人們所獲得的成果，比面積的求法要少得多，但也是相當輝煌的，例如阿基米德在《螺線論》中給出了作螺線上任意一點切線的方法，而阿波羅尼斯在《圓錐曲線論》中則給出了作圓錐曲線上切線的方法。雖然這便是微分學的雛形，唯一美中不足的地方則是當時的人們只把曲線與切線看作了靜態的圖形，沒有人考慮它們在動態變化中的意義，這也使古希臘的學者與微分學失之交臂。
在之後歷史的發展中，戰亂代替了和平，權力與武力凌駕於智慧與思想之上，這最開始的火苗便進入了沉睡，直到十七世紀末，它與人內心最深處對知識的渴望一同甦醒了。人們開始重新思考那些困擾著先哲們的難題，確定物體運動時的瞬時速度與瞬時加速度的問題成為了力學家們關注的焦點；而確定透鏡曲面上任意一點的法線來設計望遠鏡光程又使求曲面切線的問題重回人們的視線；炮彈最大射程與行星軌道近日點和遠日點的計算等問題則讓天文學家一籌莫展，在這時，人們重新開始了對微積分的醞釀與發展。
1615年，德國天文學家克卜勒提出了一種嶄新的求體積的方法，他不再對無窮小量敬而遠之，相反，使用限窮個無窮小量求和來獲得面積或體積正是其方法之精髓，最著名的例子便是每個人小學時數學書上都有的將圓分割成無窮個小扇形，再計算每個小扇形的面積，最後相加來得到圓面積的方法。1635年，義大利數學家卡瓦列裡則提出了不可分量的概念與等積原理，他開創性地認為線是由無窮個點組成的，面是由無窮條線組成的，而體是由無窮條線組成的，並將點，線，面分別命名為線，面和體的不可分量，進而基於此提出了等積原理，即對兩個等高的幾何體，如果它們的平行於底面且離開底面有相等距離的截面面積之間總有給定的比，那麼這兩個立體的體積之間也有同樣的比。值得一提的是我國數學家祖𣈶在公元656年（即1100年前）提出了一樣的原理，史稱祖𣈶原理。
在積分學醞釀地如日中天之時，微分學的發展也正齊頭並進。1637年，笛卡爾在他的著作《幾何學》中結合自己創造的坐標系概念提出了一種作曲線切線的方法，即圓法，他利用法線來繪製切線，利用方程重根的存在來確定法線，將代數與幾何結合到了一起，而與此同時，巴羅則提出了另一種直接求曲線切線的方法，叫做巴羅三角形（也叫微分三角形），他利用一段任意小的線段來逼近一段任意小的弧，將線段中任意小量的冪與乘積消去後剩下的比值便是切線的斜率，接下來就是利用點斜式來確定這條切線了。（具體的方法內容在這裡不再贅述，有興趣的同學可以參考這篇文章：莊中文，《對笛卡兒「圓法「與巴羅「微分三角形「的比較分析》）也在同一年，費馬則提出了自己求曲線極值的方法，他利用變量e來描述自變量的增量，並計算對應的函數增量（即對於函數f(x)，計算f(x+e)-f(x)），消去公共項之後將兩增量作比（即計算f(x+e)/e），若有數a使比值為0，則x=a便為函數極值點，而之後費馬也意外地發現，就算其他一任意數b不使比值為0，這個比值本身也就是當x=b時函數切線的斜率，這與巴羅三角形有異曲同工之妙，並且也與今天微分學中求導運算相差無幾。
此時的微分學與積分學均已被人們相當程度地了解。雖然根據面積與切線（和極值）兩大問題範疇可以大致看出輪廓，但兩門學科的知識仍如寶石般散落，歷史在等待一位偉人，將這些寶石拾起，並將其妥善收納，歸攏。1665年，基於對運動學的研究，牛頓正式提出了流數法的概念，並於次年5月提出了反流數法的概念，五個月後，他對之前的成果進行了總結，寫出了《流數簡論》，但並未發表。其中他將連續的量稱為流量，並將這些量流動（變化）時的速度稱為流數，同時將無限小的增量稱為瞬（即瞬間），並創建了小o記號來表達瞬。在1671年出版的《流數法與無窮級數》中，他將微積分的兩大基本問題總結為了已知流量求流數的問題（流數問題，即微分學中的基本問題）與已知流數間的關係，求流量間關係的問題（反流數問題，即積分學中的基本問題），以運動學形式提出了流數與反流數互逆的關係，並隨後證明了它們的互逆關係。但美中不足的是牛頓的觀點中將瞬簡單地看作了靜止的無窮小量，甚至有時直接就當作0來處理，故仍帶有濃厚的早期卡瓦列裡提出的不可分量理論的色彩，同時牛頓並沒有對其符號進行認真的考量，僅以帶點字母表示流數，並以帶撇字母表示流量，這使牛頓的符號與流數理論一起在歷史長河中被淘汰。
與牛頓不同，另一位德國的數學家萊布尼茨的研究則始於數列，在1666年《論組合的藝術》中，他研究了平方數列的一階差數列和二階差數列，發現了原數列與差數列間的可逆關係，而於1673年，當萊布尼茨在攻讀帕斯卡的著作時，他發現帕斯卡三角形（即楊輝三角）中的每一項均可表示為上一行相鄰兩元素之和與左下相鄰的兩元素之差，通過這些類似的研究，萊布尼茨洞察到了和與差的互逆性，藉助笛卡爾的解析幾何與坐標系概念，他將數列看作許多個有序的y值，並將表示這數列的次序看作對應的x值，他首先在手稿中將橫坐標的差記為1，（因為表示次序時，自然數數列的差顯然為1），之後他發現如果對表示y的數列也求差並與1作比，那麼這便是函數切線的斜率，而如果將每個y都乘以1，之後求和，那麼這便是函數圖像之下的面積。從而萊布尼茨意識到了求切線不過是求差，求面積不過是求和的事實，後來他將這一事實在致洛必達的信中總結。之後，萊布尼茨創建了自己的求和符號omn（取自拉丁語omnia的前三個首字母，該詞意為所有的，全部的），同時，在y=x的條件下，他發現了omn 1=y，給出了這個omn 1的意義即當數列的一階差為1時，原數列的最後一項的值。並作出了當1很小時，omn y*1=y^2/2的推論。
在1675年，萊布尼茨對他的積分記號進行了改進，用sum的首字母s拉長後的 ∫ 替換omn表示求和，而用符號d表示求差，同年，他也對dx和dy進行了詮釋：dx即兩十分相近的相鄰x值的差，而dy即兩對應的十分相近的相鄰y值的差，萊布尼茨將這些稱為微差（也就是後來的微分），並提出了分部積分原理：∫xdy=xy-∫ydx。也就是在這一年，萊布尼茨發現了積分運算與微分運算的互逆性，成為了萊布尼茨發現微積分的標誌。1676年，萊布尼茨給出了冪函數的微分法則與積分法則，即dx^n=nx^(n-1)dx和 ∫x^ndx=x^(n+1)/(n+1)，之後他先後提出了鏈式法則（即dy/dx=dy/dt*dt/dx），微分的四則運算法則（d(x±y)=dx±dy，d(xy)=xdy+ydx與d(y/x)=(xdy-ydx)/x^2）與這些法則的證明。1677年，他正式給出了微積分基本定理的表述，即d(∫ydx)/dx=y。至此，另一套獨立的微積分體系被以十分系統的形式建立完畢，其記號被沿用至今，但與牛頓的流數方法一樣，萊布尼茨對無窮小量採取的措施仍然是忽略不計，這就為這實用的套體系埋下了隱患。
在此之後，雖然首先開始研究微積分但更晚出版的牛頓與首先發表著作但的確更晚開始研究的萊布尼茨為了爭奪微積分學的首先發現權進行了激烈的爭搶，但是一切終如過眼雲煙。兩人的體系雖然後來被合稱為牛頓-萊布尼茨微積分（又叫N-L微積分），但均經不起推敲，尤其是涉及無窮小的部分，這便引發了歷史上的第二次數學危機，但因為這種理論與實際的吻合度極高，人們仍然願意使用，直到19世紀才真正開始修補這些邏輯上的缺陷。而經過修補以後的牛頓-萊布尼茨微積分學，也就成為了我們這次旅途的主要景點——像一座大花園一般的建立在公理體系之上的微積分學。
在步入這座花園的過程中，你將看見：
· 實數理論是如何成為微積分的根基的
· 柯西如何通過極限論的方法研究數列，進而研究函數的
· 柯西如何利用任意小量來描述無窮小量與極限的概念的
· 數列的極限與函數的極限這對姊妹花是如何相輔相成的
· 微分學究竟是什麼，積分學又是什麼
· 萊布尼茨的微分學公式究竟與二項展開式有怎樣的淵源
· 一些奇特而又好玩的函數與反例
· ……（多到列不下）
· 以及更多的，男默女淚看完必轉的有趣真相！
這次旅途的主要形式將以大學討論課的形式展開，不論你是
· 來見識神奇操作的萌新學生
· 來溫故知新的回頭dalao
· 非數學專業但想看看數學專業多會玩的好學人士
· 想了解大學討論班究竟是什麼套路的同學
· 還是哆嗒的鐵桿粉絲
v 我們一律十的666次方分歡迎！
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