一起推導自然數平方、立方甚至更高次方的前n項和公式

2020-11-22 騰訊網

我們已知，自然數數列是一種等差數列

其前n項和很容易求出

自然數平方的前n項和

那麼通項公式如下形式的自然數平方的數列，其前n項和如何求解呢？

假設其前n項和為Tn

觀察下列等式

將等式中的x替換成自然數1~n，可得到一系列等式

我們將這n個等式相加，可得

那麼我們就可得到自然數平方數列的前n項和公式

我們通過一系列等式相加、錯位相消，得到自然數平方的前n項和、自然數前n項和的關係，從而計算出自然數平方的前n項和。

自然數立方的前n項和

利用這種方法我們，再來看如何求自然數三次方數列的前n項和

我們首先計算出類似的等式

等式右邊出現三次項、二次項、一次項和常數項，由於我們已經計算出二次項和一次項的n項和，三次項就可以用其表示出來，推導過程如下

將x替換成自然數1~n，得到n個等式

將上述一系列等式相加，可得

那麼自然數三次方數列的前n項和為

向高次方推廣

利用這個方法可繼續求解自然數更高次方前n項和公式，我就不在這裡展示了，大家有興趣的話可自行推導。

學習數學就要注重方法的學習，學會了這些方法就可以自己手推公式了！

本文由小朱與數學原創，歡迎關注，帶你一起長知識！

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