歐拉常數：如何快速得到非常精確的連續自然數的倒數之和

2020-12-16 電子通信和數學領域

連續自然數倒數之和是無窮級數的一類，也是一個非常有趣的級數，柯西，歐拉，伯努利都是處理無窮級數的高手，所以無窮級數的許多重要發現都與它們有關，對於自然數的倒數之和問題歐拉對此進行了研究，並得出了重要的歐拉常數γ，

我們都知道連續自然數的倒數之和是一個無窮髮散的級數，前面的文章已經給出了詳細的證明，對這樣的一個級數問題，我們可以聯想到反比例函數1/X，如下圖所示

我們由此可以畫出連續自然數倒數之和的圖形，如下圖1/1

1+1/2+1/3+...+1/N的圖形就是如下陰影部分

我們結合最簡單的微積分知識，可以快速得出自然數倒數之和前4項的結果

它就約等於IN(5)，

我們由此得出這個無窮級數就約等於IN(N+1)

我們對這個結論感到懷疑，它的誤差到底有多大呢，歐拉對此進行了分析

歐拉發現兩者的誤差小於1，為什麼呢

兩者的誤差就等於下圖藍色區域，這正好是1/X曲線上方的陰影部分

歐拉發現藍色陰影部分的面積居然等於一個常數γ，這是一個非常了不起的發現

所以連續自然數的倒數之和就等於IN(N+1)+γ

你會發現隨著n的增大，連續自然數倒數之和的值就越精確，如下N=5時得到

n=500000時，就得到非常精確的結果

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