為了能夠更好地幫助大家理解何為冪級數的和函數，小編在本文將結合一道考研數學真題來講述。
1.冪級數和函數考研真題
下面這道題是2016年考研數學三真題：
小編對真題稍加修改，大家看看是否會影響解題過程和步驟。
可能很多同學會認為真題是需要大家求出兩個東西，一是收斂域，二是和函數。而小編修改後的真題，只需要求和函數，不用求收斂域了。那麼事實真的是這樣的嗎？
2.什麼是冪級數的和函數？
不妨以自然指數的泰勒展開式進行說明。
為了能夠更清晰地說明什麼是和函數，小編在上式的基礎上進行些許改變，如下所示：
當化簡到此，就能明顯看出來。當等式右邊的極限存在時，上述等式才成立。也就是說，對於變量x的某個特定的值，如果等式右邊的極限存在，則上述等式成立。
擴展到x的一段取值區間(-∞，+∞)。對於這段區間內的任何一個x值，等式右邊的極限都存在,此時：
通過上面這個例子可以看出，討論冪級數的和函數，必須是基於冪級數的收斂域。因此對於第1節中的問題，答案是兩個題目是一樣的，都是求和函數，而收斂域是和函數的組成部分。也就是說求和函數，必須要求收斂域。真題之所以要把收斂域明確列出來，目的無外乎是兩個：一是提醒大家不要忘記標明冪級數的收斂域，二是給予冪級數的收斂域問題更多的分值。
3.逐項求導和逐項積分
逐項求導和逐項積分是求冪級數和函數過程中經常需要用到的概念。那何為逐項求導，何為逐項積分呢？又為何需要逐項求導、逐項積分呢？
所謂的逐項求導、逐項積分就是對函數項冪級數的每一項進行求導或求積分。
小編通過下面兩個例子來說明。
逐項求導可能會縮小收斂域，但不會擴大收斂域；逐項積分可能會擴大收斂域，但不會縮小收斂域。而收斂域縮小和擴大的部分只可能是出現在級數收斂域的兩側端點。
請看下面逐項求導會縮小收斂域的例子：
同樣，將上述例子反過來，就是一個逐項積分擴大收斂域的典型例子。
那麼逐項求導、逐項積分的目的是什麼？
目的是向常見函數的泰勒展開式靠攏！下面小編通過求解考研真題向大家說明這一點。
4.求解真題
對於第1節中的考研真題，首先求收斂域。
對於既可看作缺項冪級數，亦可看作無缺項冪級數，通常採用比值審斂法求解冪級數的收斂域。具體求解過程如下所示：
在求得冪級數收斂域後，下一步就是求和函數S(x)。
觀察級數的形式，不難發現應採用逐項求導的方法，具體過程如下：
當進行到上面這一步時，可能很多人都認為，只需要把原級數收斂域寫在S(x)後面就算解答完了，即：
看出來了嗎？上面的S(x)取不到點x=-1和x=1，因此本題還沒有解答完！
所以，接下來要考慮的是，當x=-1和x=1時，原級數將收斂於何值。具體解答過程如下：
因此原級數的和函數為：
5.求解冪級數和函數通用步驟
小編將求解冪級數和函數的通用步驟繪製成圖1，大家一定要結合第4 節中考研真題的求解來理解。
求解一個冪級數的和函數，先求收斂域，此時根據冪級數是否缺項採用相應的定理進行求解，缺項用比值審斂法；無缺項用收斂半徑公式。
第二步就S(x)，在次過程中，核心是向常見函數的泰勒展開式靠攏。有的冪級數可能直接就是常見函數的冪級數，此時可直接求得。對於複雜的冪級數，可以通過逐項求導或逐項積分的方法向常見函數的泰勒展開式進行靠攏。若是採用的逐項求導，需對最後求出的S(x)對收斂域端點進行分析。