原題
原題：如圖所示，在四稜錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥AB，PA=6，AB=8，PD=10，N為PC的中點，F為稜BC上的一點。
⑴證明：平面PAF⊥平面ABCD；
⑵當F為BC的中點時，求二面角A-NF-C的餘弦值。
對於立體幾何中求二面角，只有兩種方法：一是常規方法，即過其中的一個面上的點A作另一個面垂線，交於底面與B，在過該點B作兩個面交線的垂線交於垂線於C，連接AC，則∠ACB就是要找的二面角；二是法向量法，即分別求出兩個面的法向量，然後求出兩個法向量所成的角。
但是在使用法向量的方法求二面角的時候要注意一點：判斷我們要求二面角的範圍。
第一問
第一問是證明平面PAF⊥平面ABCD。
要想證明平面PAF⊥平面ABCD，只需要找到平面ABCD的垂線，則過該垂線上的所有的面都與該面垂直。
具體做法：
因為PA=6，AB=8，PD=10，所以有PD^2=AB^2+PA^2，滿足勾股定理，所以∠PAD=90度，即PA⊥AD。
又因為PA⊥AB，而AB和AD是相交直線，所以PA⊥平面ABCD。
因為PA在平面PAF中，所以平面PAF⊥平面ABCD。
第二問
第二問是求二面角A-NF-C的餘弦值，即面CNF和面ANF所成角的餘弦值。
不難發現想作出這兩個面的二面角並不容易，而題中又出現了三垂直的情況，所以這道題使用法向量來求二面角是比較容易的。
具體做法如下：
第一步，建立空間直角坐標系。
上述已經證明PA⊥AD，又因PA⊥AB，又因為ABCD是正方形，所以AD⊥AB，則AB、AD、PA兩兩垂直。
所以以A點為坐標原點，以AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系。
如圖二：
第二步，求出各點的坐標。
因為四邊形ABCD是正方形，AB=AD=BC=CD=8，且四個角均為直角，所以A(0,0,0)，B(8,0,0)，C(8,8,0)，D(0,8,0)。
AP是z軸，且AP=6，所以p(0,0,6)。
因為F是BC的中點，所以y軸長度變為原來的一般，即為4，所以F(8,4,0)。
連接AC，取AC的中點為M，連接MN，又因為N點是PC的中點，則MN=PA/2=3，因為PA垂直底面ABCD，所以MN就是點N到底面的距離。
又因為M是正方形ABCD對角線的中點，所以點M到x軸和y軸的距離分別是正方形ABCD邊長的一半，所以N(4,4,3)。
第三步，分別求出面CNF和面ANF內兩條交線的向量。
面CNF：
向量BC=C(8,8,0)－B(8,0,0)=(0,8,0)，向量PC=C(8,8,0)－p(0,0,6)=(8,8,－6)。
面ANF：
向量AF=F(8,4,0)－A(0,0,0)=(8,4,0)，向量AN=N(4,4,3)－A(0,0,0)=(4,4,3)。
第四步，分別求出面CNF和面ANF的法向量。
設面CNF的法向量為n1=(x1,y1,z1)。
則有8x1+8y1－6z1=0，8y1=0，所以y1=0，令x1=3，則有z1=4，所以n1=(3,0,4)。
設面ANF的法向量為n2=(x2,y2,z2)。
則有8x2+4y2=0①，4x2+4y2+3z2=0，令z1=1，則4x2+4y2=－3②，用①－②得到x2=3/4，則y2=－3/2，所以n2=(3/4,－3/2,1)。
第五步，求出兩個法向量夾角的餘弦值。
因為n1·n2=|n1|·|n2|·cos＜n1·n2＞，所以cos＜n1·n2＞=n1·n2/|n1|·|n2|。
|n1|·|n2|=√(9+16)·√(9/16+9/4+1)=5√61/4.
n1·n2=(3,0,4)·(3/4,－3/2,1)=9/4+0+4=25/4。
所以cos＜n1·n2＞=n1·n2/|n1|·|n2|=25/4/5√61/4=5/√61=5√61/61.
註：該兩個法向量的夾角的餘弦值不是最後的結果！
第六步，得出二面角A-NF-C的餘弦值。
因為二面角A-NF-C是一個鈍角，所以該二面角的餘弦值應該是一個負數。
所以二面角A-NF-C的餘弦值的餘弦值為－5√61/61。
總結
利用法向量求二面角的餘弦值時，兩個面的法向量夾角不一定是這兩個面的夾角，也可能是這兩個面夾角的補角。
因為一個面的法向量的方向可能是朝向該面的上方，也可能是朝著該面的下方向。
所以兩個面的法向量的夾角不一定是兩個面的夾角。
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