原題
原題：如圖，在四稜錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3.過點A作四稜錐P-ABCD的截面AEFG，分別交PD，BC，PB於點E，F，G。已知PG:PB=2:3，E為PD的中點。
⑴求證：AG∥平面PCD；
⑵求AF與平面PAB所成角的正弦值。
第一問是求證AG∥平面PCD，我們發現面PCD內現有的直線沒有和直線AG平行的，這個時候我們需要在平面PCD內作出一條和直線AG平行的直線，就可以證明出直線AG與平面PCD是平行。
該題的第二問是求直線AF與面PAB所成角的正弦值，這樣的題我們一般都是使用向量的方法來求解，但是在使用向量的方法來求線面角的時候也是需要知道相關點的坐標，根據各個點的坐標求出相關直線的向量。
但是這裡點F坐標我們並不知道，也就無法知道直線AF的向量，而要求的就是直線AF和面PCD所成角的正弦值，所以求出F點是至關重要的。
那如何求解F點坐標呢？題中並沒有給出F點相關的已知，唯一相關的就是「過點A作四稜錐P-ABCD的截面AEFG」，那如何借用這個條件得出直線AF的向量呢？
下面我們就在講解該題的過程來說明。
第一問
第一問是求證AG∥平面PCD，因為G點是直線PB上的三等分點，且滿足PG/PB=2/3，所以在直線PC上取三等分點Z，且滿足PZ/PC=2/3，連接GZ，則GZ∥BC，且GZ/BC=2/3.
因為BC=3，所以GZ=2，又因為GZ∥BC，且AD∥BC，所以GZ∥AD，又因為AD=2，所以GZ平行且等於AD，所以四邊形ADZG是平行四邊形，所以AG∥DZ。
因為AG在平面PCD外，且直線DZ在平面PCD內，所以AG∥平面PCD。
第二問
第二問是求證線面角的正弦值，根據該線面角的正弦值等於該直線所對應的向量與該面的法向量所成角的餘弦值的絕對值，所以只需要求出該面的法向量和該直線所對應的向量，然後再根據兩個向量點乘的公式求出這兩個向量夾角的餘弦值即可。
第一步，建立空間直角坐標系。
因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥CD，因為CD⊥AD，所以直線PA、AD、CD三條直線兩兩垂直，所以過點A做AM∥CD，所以直線PA、AD、AM三條直線兩兩垂直，所以以A點為原點，以AM為x軸，以AD為y軸，以AP為z軸建立空間直角坐標系。
第二步，求出相關各點的坐標。
因為以A點為原點，所以A點坐標為（0,0,0）；
因為AM∥CD，AD∥MC，所以四邊形ADCM是平行四邊形，所以AM=CD=2，所以M點坐標為（2,0,0）；
因為BC=3，MC=2，所以BM=1，所以點B的坐標為（2，－1,0）；
因為AD=2，所以D點坐標為（0,2,0），所以C點坐標為(2,2,0)；
因為AP=2，所以P點坐標為(0,0,2)；
因為E點是PD的中點，所以E點在y軸方向的長度為AD長度的一半，E點在z軸方向上的長度為AP長度的一半，所以E點的坐標為（0,1,1）；
設G點坐標為(x0,y0,z0)，向量PG=（x0,y0,z0－2），向量PB=（2，－1,0）－(0,0,2)=（2，－1，－2），因為PG/PB=2/3，所以有x0=2×2/3=4/3，y0=－1×2/3=－2/3，z0－2=－2×2/3，z0=2/3，所有點G的坐標為(4/3,－2/3,2/3)。
這裡我們正常還要求出F點坐標，但是通過上述的一些方法是不能求出F點坐標的，所以我們需要根據向量之間的關係直接得出向量AF即可。
第三步，求出相關的向量。
⒈求出面PAB的法向量：只需要求出該面內兩條相交直線的向量，然後根據法向量和該面內的所有向量都垂直列出等式，求出該面的法向量。
向量AP=(0,0,2)，向量AB=（2，－1,0）。
設面PAB的法向量為m=(x,y,z)，則有向量m·向量AP=0，有向量m·向量AB=0，即2z=0，2x－y=0，令x=1，解得y=2，z=0，所以面PAB的法向量m=(1,2,0)。
⒉求出向量AF：要想求出向量AF ，需要借用該直線所在面的法向量，根據該面的法向量與該面內的向量均垂直得出關於直線AF的向量的一個等式。
因為直線AF在面AEFG內，所以只需要解出該面內的法向量，然後和直線AF所得的向量垂直得出等量關係，得出向量AF。
求出面AEFG的法向量：向量AG=(4/3,－2/3,2/3)，向量AE=（0,1,1），設面AEFG的法向量為n=(x1,y1,z1)，則有向量n·向量AG=0，向量n·向量AE=0，即4x1/3－2y1/3+2z1/3=0，y1+z1=0，令z1=1，解得y1=－1，x1=－1，所以面AEFG內的法向量n=(－1,－1,1)。
因為向量AF屬於面AEFG，所以向量AF·向量n=0.
又因為點F在PC上，所以向量AF=λ向量AC+（1－λ）向量AP=(2λ,2λ,2－2λ)。
所以有向量AF·向量n=(2λ,2λ,2－2λ)·(－1,－1,1)=－2λ－2λ+2－2λ=0，解得到λ=1/3，所以向量AF=(2/3,2/3,4/3)。
第四步，求出兩個向量夾角的餘弦值。
設面PAB的法向量和向量AF的夾角為φ，根據向量點乘公式有向量m·向量AF=|向量m|·|向量AF|·cosφ，所以cosφ=向量m·向量AF/|向量m|·|向量AF|=√30/10.
第五步，求出直線AF與面PAB所成角的正弦值。
設直線AF與面PAB所成的角為θ，所以有sinθ=|cosφ|=√30/10.
所以直線AF與面PAB所成角的正弦值為√30/10.
總結
該題的第二問與之前不同的是沒有給出關鍵點F，按照常規的方法很難求出直線AF的向量，從而無法根據向量的方法求出AF與面PAB的線面角，所以該題主要就是講解這樣的情況下該直線AF向量的求解方法——即法向量的二次使用以及平面向量基本定理的運用。
高中數學，給出線面角的正弦值，實則給它，向量進一步的運用
高中數學，二面角問題，向量求二面角的弊端，你還需知道這些
高中數學給出二面角的平面角的正切值的目的是什麼？細節決定成敗
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