詳細講解用法向量求二面角的過程

何時用法向量求二面角？

在使用法向量求二面角時，一般是題中所求的兩個面的角不好找或者很難求解出該角的值。

而法向量其實也是向量的一種，它無需準確地找到其起始點和終點就可以根據向量的乘積的形式計算出兩個向量的夾角。

一個面的法向量就是這個面垂直的方向向量，一個面的法向量並不唯一，但是它的方向都是唯一的，不同的是模的大小。

所以運用法向量來求解兩個面的夾角就省去了很多不必要的條件，容易算出結果，帶來了方便。

所以面對難以找到二面角的兩個面或者是難以求出二面角的值時就可以使用法向量求解二面角。

題型

圖一

圖一中的第二問就是求二面角的題，而對於這個題中要求解的二面角就很難找到該二面角的位置，即使找到了也很難求解出來，這時我們就可以使用法向量的方法求解出來。

題型思路

要想找到一個面的法向量，就要先求出這個面內兩條直線的向量且這兩條直線是相交的；

要求出一個面內兩條相交直線的向量，就要建立直角坐標系。對於立體幾個來說就要建立空間直角坐標系；

要想建立空間直角坐標系，就要找到三條直線相互垂直的交點；

通過第一問的證明，AE、EF、EB就是三條相互垂直的直線，E就應該是空間直角坐標系的原點坐標。

具體的做法

（Ⅰ）第一問只需要證明AE垂直面EBCF，AE在面AEFD內即可。

因為AB⊥BC，AD∥BC，E，F又是AB，DC的中點，所以AB⊥AD，AB⊥EF；

又因為AE⊥CF；

又因為CF和EF是相交直線；

所以有AE⊥面EBCF；

AE在面AEFD內，所以有面AEFD⊥面EBCF。

（Ⅱ）第二問運用法向量來求解二面角F-CD-A的大小。

①建立直角坐標系。

做DG∥AE交EF於G點，連接BG。

圖二

注意：這裡E點是空間直角坐標系的原點，相當於原點O。

②求出相關的坐標值。

因為BD⊥EC；

又因為AE⊥面EBCF，AE∥DG，所以DG⊥面EBCF，所以DG⊥EC；

所以EC⊥面BDG，所以EC⊥BG；

因為∠EBG+∠GBC=90°=∠ECB∠+∠GBC，所以∠EBG=∠ECB；

因為∠BEG=90°，∠CBE=90°，所以∠BEG=∠CBE；

所以△BEG∽△CBE；

圖三

所以EG/EB=BE/BC，解得EB=2√2；

根據題中的已知不難得到各個點的坐標，即：

B(2√2,0,0)，A(0,0,2√2)，D(0,2,2√2)，C(2√2,4,0)，F(0,3,0)。

③求出二面角F-CD-A的兩個面的法向量。

根據上述各個點的坐標分別得出兩個面內的相交直線的向量坐標，設兩個法向量為未知數，然後再根據法向量和面內直線垂直的關係，列出方程，從而求出各個面的法向量。

具體做法如圖四：

圖四

注意：只要求出法向量的方向即可，大小可以任取。

④根據法向量求出二面角F-CD-A的大小。

cos＜n,m＞=n·m/|n||m|=0；

這裡我們需要掌握一個知識點：

當兩個面的法向量相互垂直時，則兩個面相互垂直，反過來當這兩個面垂直時，它們的法向量也相互垂直；

當兩個面的夾角不是90度的時候，則兩個面的法向量的夾角可能是這兩個面的夾角，也可能是這兩個面的夾角的補角。

所以有二面角F-CD-A的大小為90度。

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