如圖△CDE重心為G,咋確定G點求出AG與面ABCD夾角正弦值?須知這些

2020-12-04 玉w頭說教育

原題

原題：在如圖所示的四稜錐E-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，△BCE為邊長為2的等邊三角形，AB=AE，點F,O分別為AB,BE的中點，OF是異面直線AB和OC的共垂線。

⑴證明：平面ABE⊥平面BCE；

⑵記△CDE的重心為G，求直線AG與平面ABCD所成角的正弦值。

圖一
圖二

這道題的第一問是比較簡單的，只需要通過線面垂直得到線線垂直即可。

主要是如何求解第二問，在第二問中要求的是三角形CDE的重心G與點A確定的直線與面ABCD所成角的正弦值，而這裡的G點並不好確定下來，因為G點所在的三角形是一個普通的三角形，且三邊無法全部求解出來。

那該怎麼辦呢？

這裡可以使用向量的方法去求解，但是仍然有很多同學在想，使用向量的方法，該G點的坐標也沒辦法求啊？因為G點所在的三角形三邊不能全求出來，即使是用向量也需要靠線段長度來定坐標啊？

其實我們只需要知道G點所在三角形的三個頂點的坐標，就可以將其G點這個重心坐標求解出來，因為三角形各個頂點和重心所構成的向量還有這樣的一個關係：如果三角形重心G點所對應的該三角形的三個頂點分別為A,B,C的話，則有向量GA+向量GB+向量GC=0向量。具體可見在△ABC中有向量GA+向量GB+向量GC=0向量能得出一個什麼樣的已知？

知道這個知識點後，我們就可以根據該重心G點所在三角形三個頂點的坐標得出該G點的坐標了。

第一問

第一問是證明平面ABE⊥平面BCE，即只需要證明OC⊥平面ABE即可。

因為△BCE是等邊三角形，O點是BE的中點，所以OC是該△BCE的中線，所以有OC⊥BE，又因為OF是異面直線AB和OC的共垂線，所以OC⊥OF，因為OF和BE是相交直線，所有OC⊥平面ABE。

因為OC在平面BCE內，所以面ABE⊥平面BCE。

第二問

第二問是求直線AG與平面ABCD所成角的正弦值，該問需要用向量的方法將G點坐標表示出來，從而求出向量AG，然後再通過求出面ABCD的法向量，根據向量之間的夾角來求出該直線AG與面ABCD的所成角的正弦值。

第一步，建立空間直角坐標系。

因為AB=BE，所在△ABE是等腰三角形，因為O點是BE的中點，連接OA，所以OA⊥BE，又因為OC⊥面ABE，所以OC⊥OA，OC⊥BE，所以直線OA、OC、BE三條直線兩兩垂直。

所以以O為圓心，以OE為x軸，以OC為y軸，以OA為z軸建立空間直角坐標系，具體如圖三所示。

圖三

第二步，求出各個點的坐標。

以O點為圓心，所以O點的坐標為(0,0,0)；

因為OF是異面直線AB和OC的共垂線，所以OF⊥AB，又因為F、O點是AB和BE的中點，所以AE⊥AB，又因為AB=BE，所以三角形ABE是等腰直角三角形。因為△BCE是邊長為2的等邊三角形，所以BE=2，在等腰直角三角形ABE中，根據勾股定理得到AB=AE=√2。根據等面積法，則有1/2×AB×AE=1/2×BE×OA，則OA=1，所以A點的坐標為(0,0,1)；

因為△BCE是邊長為2的等邊三角形，O點是BE的中點，所以OC=√3，所以C的坐標為(0,√3,0）；

因為BE=2，O為BE中點，所以B點坐標為(－1,0,0)，E點坐標為(1,0,0)；

設D點坐標為(x0,y0,z0)，則向量AD=(x0,y0,z0)－(0,0,1)=(x0,y0,z0－1)，向量BC=(0,√3,0）－(－1,0,0)=(1,√3,0)。因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以向量AD=向量BC，則有(1,√3,0)=(x0,y0,z0－1)，所以D點的坐標為(1,√3,1)。

第三步，求出面ABCD的法向量。

面ABCD內兩條相交直線的向量為：向量BC=(0,√3,0）－(－1,0,0)=(1,√3,0)，向量AB=(－1,0,0)－(0,0,0)=(－1,0,0)。

設該面ABCD的法向量為n=(x1,y1,z1)，則有向量n·向量BC=0，有向量n·向量AB=0，得到x1+z1=0和x1+√3y1=0,。

令y=－1，則x=√3，z=－√3，所以向量n=(√3,－1,－√3)。

第四步，求出向量AG。

因為G點是三角形CDE的重心，則有向量GD+向量GC+向量GE=0向量，設G點坐標為(x2,y2,z2)，則有(1,√3,1)－(x2,y2,z2)+(0,√3,0）－(x2,y2,z2)+(1,0,0)－(x2,y2,z2)=0，所以G點坐標為(2/3,2√3/3,1/3)，所以向量AG=(2/3,2√3/3,1/3)。

第五步，求出兩個向量夾角。

設向量AG和向量n的夾角為α，根據向量AG·向量n=|向量AG|·|向量n|·cosα，則cosα=向量AG·向量n/|向量AG|·|向量n=√105/35.

注意：該夾角α不是直線AG與面ABCD的夾角！

如圖

圖四

第六步，求出直線AG與面ABCD的夾角正弦值。

如圖四所示，向量AG和面ABCD的法向量的夾角是直線AG與面ABCD所成角的餘角或者該餘角的補角，又因為該夾角的正弦為正值，所以設直線AG與面ABCD的夾角為θ，則sinθ=|cosα|=√105/35.

總結

該題注意兩點：一是，如何將點G用坐標的形式表示出來；二是，直線AG與面ABCD的夾角不是向量AG與面ABCD法向量的夾角。

詳細講解三角形中邊的取值範圍的題

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