在高二立體幾何學習中考查異面直線夾角時，學生用的方法最常見的是將兩條異面直線平移到同一個面內，利用三角函數求正弦或餘弦值，當然此類問題也可以用空間向量來做，但是利用空間向量來解是將一個幾何問題完全轉化為一個不需要動腦的純數學運算問題，但是在教學中遇到一類問題：即在所給的幾何體內無法將兩條異面直線平移到同一個平面內，此時又該如何求解，例如在下圖正方體內，點M，N分別為所在稜長的中點，求異面直線AM和CN所成夾角的餘弦值
如果不用向量也不對正方體進行增補，如何求？有的同學會犯如下錯誤：把AM和CN投設到地面你ABCD上，此時AM對應的AB所在的直線，CN對應CB，又因為AB和BC垂直，所以異面直線AM和CN所成角為90°，但是用向量求解時發現夾角並不是90°。
想法是好的，如果利用這個想法如何求夾角呢，注意如果將AM，CN投射到底面上，此時除了異面直線的夾角，還有AM與底面的夾角，CN與底面的夾角，以及底面兩條投影之間的夾角，所以這四個角到底有什麼關係。
在此引入數學中一個定義：三面角餘弦定理，關於該定義的解釋和證明方法有興趣的可以自行百度，在此不給出，下面以一個例子說明這四個角之間的等式關係：
將兩條異面直線平移到一個交點O,OA在底面上的投影為OC，BO在底面上的投影為OD，選取OC所在的直線為第三條線，此時OA，OB，OC可構成三角面，利用三角面餘弦定理有如下過程：
所以從上述過程中可以得到兩條異面直線之間的夾角與各自與第三個面的夾角以及在第三個面內投影之間的夾角的關係：
所以根據這個我們就可以利用投影法來解決異面直線不能平移到同一個面內的問題。
例1.一開始的案例：
將兩條異面直線投射到底面上，設正方體的稜長為2，線段AM和CN與底面夾角的正弦值很容易求得，注意到AM在底面上的投影為AB，CN與底面的投影為BC，且AB⊥BC，所以兩條投影之間的夾角的餘弦值為0，所以計算異面直線夾角的餘弦值直接就等價於兩條異面直線與底面夾角正弦值的乘積。
據此得出一個常用結論：如果異面直線在同一面上的投影垂直，則異面直線夾角的餘弦值就等於兩條異面直線與投影面夾角的正弦值的乘積。
例2.如下圖中正方體中，點M是稜DD1的中點，點O為底面ABCD的中心，點P為稜A1B1上任意一點，求直線OP與直線AM之間所成角的餘弦值
解析：點P為A1B1上運動，無論點P在哪個位置，OP在左側面上的投影均為O'A1,此時發現AM和O'A1之間的夾角為90°，所以此時直線OP和AM所成角的餘弦值就等於OP與左側面夾角的餘弦值，考慮到AM就在左側面上，所以AM與左側面的夾角為0，正弦值也為0，所以可知異面直線OP和AM之間夾角的餘弦值等於0，所以兩條直線的夾角為90°。
利用三面角餘弦定理不僅可以處理異面直線的夾角，還可以很快的處理二面角的餘弦值，關於二面角餘弦值的求法，以後再給出。
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