高中數學,底面是正方形的四稜錐是正四稜錐?細節往往是解題關鍵

原題

原題：如圖，在四稜錐P-ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB⊥BC，AP=AB=BC=1/2AD，E為AD的中點，AC與BE相交於點O。

⑴證明：PO⊥平面ABCD；

⑵求直線BC與平面PBD所成角的正弦值。

圖一

圖二

這道題分為兩個小問，每個小問中都有我們需要的知識點。

第一問我們需要知道四稜錐和正四稜錐具體的區別，否則會走錯方向，不能在規定的時間內解答出問題來。

第二問需要掌握的是線面角θ和該直線的在兩個方向上的向量與該面的法向量所成角φ的關係，即θ與φ是互餘的或者θ與π－φ是互餘的。所以一般我們在求線面角θ的正弦值時，只需要求解φ的餘弦值的絕對值即可。詳細可見如圖△CDE重心為G，咋確定G點求出AG與面ABCD夾角正弦值？須知這些

圖三

第一問

第一問是求證PO⊥平面ABCD。

要想證明PO⊥平面ABCD至少要證明PO⊥AC，因為O是AC的中點，所以就要證明AP=PC。

因為AB⊥BC，AB=BC=1/2AD，AD∥BC，所以ABCE是正方形，所以這裡很多同學就會認為四稜錐P-ABCE是正四稜錐，就直接根據該四稜錐P-ABCE是正四稜錐的條件得出了AP=PC，從而證出PO⊥AC。

但是這實際上這是錯誤的，因為底面積是正方形的四稜錐不一定是正四稜錐，只有當底面積是正方形且側稜都相等的四稜錐才是正四稜錐。

所以要想學好數學就要做到注意每一個定義的細節，真正的做到準確透徹！

具體做法如下：

因為AP⊥面PCD，且CD屬於面PCD，所以AP⊥CD；

因為BC∥CD，且BC=1/2AD，E是AD的中點，所以BC=ED，所以四邊形BCDE是平行四邊形，所以BE∥CD。

所以AP⊥BE。

因為BC=1/2AD，E是AD的中點，所以BC=AE，又因為AB=BC，且AB⊥BC，所以四邊形ABCE是正方形，所以BE⊥AC。

又因為AP和AC是面APC內的相交直線，所以BE⊥面APC，所以BE⊥PO。

因為ABCE是正方形，所以AC=√2AB，又因為AP=AB，所以AC=√2AP；

因為AP⊥面PCD，所以AP⊥PC。

在直角三角形APC中，根據勾股定理PC=AP，所以三角形APC是等腰直角三角形。

又因為O是AC的中點 ，所以PO⊥AC。

又因為AC和BE是面ABCD內的相交直線，所以PO⊥面ABCD。

第二問

第二問是求直線BC與平面PBD所成角的正弦值。

我們知道了線面角和與該線的向量和該面的法向量夾角之間的關係後，只需要求出向量BC和面PBD的法向量夾角的餘弦值的絕對值即可。

要想求出向量BC與面PBD的法向量的夾角，需要得出向量BC和該面PBD的法向量，要想得到該向量BC和面PBD的法向量就要得出各點的坐標，要想得到各點的坐標就要建立空間直角坐標系。

第一步，建立空間直角坐標系。

以O點為圓心，以向量OB為x軸，以向量OC為y軸，以向量OP為z軸建立空間直角坐標系。

如圖：

圖四

第二步，求出各點的坐標。

不妨設OB=1，因為各邊都有一定的關係，最後求解的餘弦值的絕對值也不會隨著邊的變化而改變，則有

A點坐標為(0,0,0)，B點坐標為(1,0,0)，C點坐標為(0,1,0)；

因為OB=1，所以正方形ABCE的對角線AC=BE=2，OA=OB=1，AB=AE，所以在直角三角形BAE中，根據勾股定理有AB=AE=√2，又因為AB=AP，所以AP=√2，又因為OP⊥AC，所以角AOP=90度，在直角三角形AOP中，根據勾股定理有OP=1，所以點P的坐標為(0,0,1)；

因為BE∥CD，且O、E是直線AC、AD的中點，所以OE=1/2CD，又因為OE是對角線的BE的一半，所以OE=1，所以CD=2，所以點D的坐標為(－2,1,0)。

第三步，求出BC向量和面PBD內交線的向量。

向量BC=(0,1,0)－(1,0,0)=(－1,1,0)；

向量PB=(1,0,0)－(0,0,1)=(1,0,－1)，向量PD=(－2,1,0)－(0,0,1)=(－2,1,－1)。

第四步，求出面PBD的法向量。

設面PBD的法向量為n=(x,y,z)，則有向量PB·向量n=0和向量PD·向量n=0，得到x－z=0和－2x+y－z=0，解得到x=z，y=3z。

令z=1，則向量n=(1,3,1)。

第五步，求出向量BC和面PBD法向量的夾角餘弦值。

設向量BC和面PBD法向量的夾角為φ，所以有cosφ=向量BC·向量n/|向量BC|·|向量n|=√22/11.

設直線BC和面PBD的夾角為θ，則sinθ=|cosφ|=√22/11.

所以直線BC與面PBD的夾角的正弦值為√22/11.

總結

這道題第一步的需要注意的是要明確正四稜錐的定義，不要盲目的使用正四稜錐的條件。

第二步，需要注意的是向量BC和面PBD的法向量的夾角不是直線BC與面PBD的夾角，以及它們角之間關係。

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