勾股定理是一個基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。中國古代稱直角三角形為勾股形，並且直角邊中較小者為勾，另一長直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個定理為勾股定理，也有人稱商高定理。
勾股定理現約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。在中國，周朝時期的商高提出了「勾三股四弦五」的勾股定理的特例。在西方，最早提出並證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等於兩直角邊平方之和。
趙爽弦圖
《九章算術》中，趙爽描述此圖：「勾股各自乘，並之為玄實。開方除之，即玄。案玄圖有可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四。以勾股之差自相乘為中黃實。加差實亦成玄實。以差實減玄實，半其餘。以差為從法，開方除之，復得勾矣。加差於勾即股。凡並勾股之實，即成玄實。或矩於內，或方於外。形詭而量均，體殊而數齊。勾實之矩以股玄差為廣，股玄並為袤。而股實方其裡。減矩勾之實於玄實，開其餘即股。倍股在兩邊為從法，開矩勾之角即股玄差。
加股為玄。以差除勾實地股玄並。以並除勾實亦得股玄差。令並自稱與勾實為實。倍並為法。所得亦玄。勾實減並自乘，如法為股。股實之矩以勾玄差為廣，勾玄並為袤。而勾實方其裡，減矩股之實於玄實，開其餘即勾。倍勾在兩邊為從法，開矩股之角，即勾玄差。架構為玄。以差除股實得勾玄並。以並除股實亦得勾玄差。令並自稱與股實為實。倍並為法。所得亦玄。股實減並自乘如法為勾，兩差相乘倍而開之，所得以股玄差增之為勾。以勾玄差增之為股。兩差增之為玄。倍玄
實列勾股差實，見並實者，以圖考之，倍玄實滿外大方而多黃實。黃實之多，即勾股差實。以差實減之，開其餘，地外大方。大方之面，即勾股並也。令並自乘，倍玄實乃減之，開其餘，得中黃方。黃方之面，即勾股差。以差減並而半之為勾。加差於並而半之為股。其倍玄為廣袤合。令勾股見者自稱為其實。四實以減之，開其餘，所得為差。以差減合半其餘為廣。減廣於玄即所求也。」
用現代的數學語言描述就是黃實的面積等於大正方形的面積減去四個朱實地面積。
加菲爾德證法
加菲爾德在證出此結論5年後，成為美國第20任總統，所以人們又稱其為「總統證法」。
青朱出入圖
青朱出入圖，是東漢末年數學家劉徽根據「割補術」運用數形關係證明勾股定理的幾何證明法，特色鮮明、通俗易懂。
劉徽描述此圖，「勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也。」其大意為，一個任意直角三角形，以勾寬作紅色正方形即朱方，以股長作青色正方形即青方。將朱方、青方兩個正方形對齊底邊排列，再以盈補虛，分割線內不動，線外則「各從其類」，以合成弦的正方形即弦方，弦方開方即為弦長。
歐幾裡得證法
在歐幾裡得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明。設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。
在這個定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理：
如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS）
三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。
任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。
任意一個矩形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。
證明的思路為：從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，把上方的兩個正方形，通過等高同底的三角形，以其面積關係，轉換成下方兩個同等面積的長方形。此證明是於歐幾裡得《幾何原本》一書第1.47節所提出的。
由於這個定理的證明依賴於平行公理，而且從這個定理可以推出平行公理，很多人質疑平行公理是這個定理的必要條件，一直到十九世紀嘗試否定第五公理的非歐幾何出現。（以上出自百度百科）
現在勾股定理廣泛用於各行各業，雖然證明的方法有很多種，但是關於勾股定理還有一些問題尚未解決，比如一直困惑數學家的勾股數有多少對？這個問題一直沒有得到明確的證明。加之勾股定理的形式和費馬大定理聯繫緊密。
從費馬時代起，人們不斷進行費馬大定理的試證工作。這樣一個敘述簡單易懂的定理對於後來的數學家是一大挑戰，其後200多年，數學家只是部分地解決了這個問題，可是卻給數學帶來豐富的副產品，最重要的是代數數論。
1753年瑞士著名數學家歐拉，在給哥德巴赫的信中說，他證明了n=3時的費馬猜想，1770年其證明發表在《代數指南》一書中，方法是「無限下降法」和形如a+根號（－3）數系的唯一因子分解定理，這一方法也被後人多次引用。
1816年巴黎科學院把費馬猜想轉化簡化歸結為n是奇素數的情況，認為費馬猜想應該成立，並稱為為費馬大定理（以區別費馬關於同餘的小定理），並為證明者設立大獎和獎章，費馬大定理之謎從此進一步風靡全球。
費馬自己證明了n=4的情形。
19世紀初法國自學成才的女數學家熱爾曼證明了當n和2n+1都是素數時費馬大定理的反例x，y，z至少有一個是n整倍數。在此基礎上，1825年德國數學家狄利克雷和法國數學家勒讓德分別獨立證明費馬大定理在n=5時成立，用的是歐拉所用方法的延伸，但避開了唯一因子分解定理。
1839年，法國數學家拉梅對熱爾曼方法作了進一步改進，並證明了n=7的情形，他的證明使用了跟7本身結合得很緊密的巧妙工具，只是難以推廣到n=11的情形；於是，他又在1847年提出了「分圓整數」法來證明，但沒有成功。
1844年，庫默爾提出了「理想數」概念，他證明了：對於所有小於100的素指數n，費馬大定理成立，此一研究告一階段。但對一般情況，在猜想提出的頭二百年內數學家們仍對費馬大定理一籌莫展。
1847年，巴黎科學院上演戲劇性一幕， 當時著名數學家拉梅和柯西先後宣布自己基本證明費馬大定理，拉梅還聲稱證明引用了劉維爾複數系中的唯一因子分解定理，劉維爾則說這一定理源自歐拉和高斯的思想。大數學家都被扯入其中，似乎結論十分可靠。就在此時劉維爾宣讀了德國數學家庫默爾的來信，明確指出證明中的複數系的唯一因子分解定理並不普遍成立，於是拉梅和柯西的證明都是錯的。
大約在1850年前後，高斯的學生、德國數學家庫默爾看到唯一因子分解是否成立是歐拉、熱爾曼創立的企圖證明費馬大定理的方法關鍵，於是他創立了一種「理想數環」理論，居說這一思想也受其老師高斯啟發，高斯表面上聲稱對費馬大定理不感興趣，實際上對n=7久思不解。學生庫默爾運用獨創的「理想素數」理論，一下子證明了100以內除37、59、67以外的所有奇數費馬大定理都成立，使證明問題取得了第一次重大突破。
庫默爾之後近半個世紀，費馬大定理證明都停滯不前，直到二十世紀前期大數學家勒貝格向巴黎科學院提交了一個費馬大定理的證明論稿，由于勒貝格當時的權威聲望，大家都以為這下問題解決了，但經過廣泛傳閱其證明稿件，人們遺憾地發現大數學家的分析證明還是錯的。
巴黎科學院曾先後兩次提供獎章和獎金，布魯塞爾科學院也懸賞重金，獎勵證明該定理的人，但都無結果。1908年哥廷根皇家科學會懸賞十萬馬克，獎給最先證明這一定理的人，賞期100年。最初的證明是一個數一個數（或一部分數）的進行，但也不是那麼簡單的工作，不知多少人耗盡了無數心血，取得了一些成果。如高斯、歐拉、萊布尼茨、勒讓德、狄裡克雷、拉梅、庫默爾等許多著名數學家都作出了突出的貢獻。但都只是在某些特定條件下證明了這個定理，無疑離定理的證明還比較遙遠。人們曾經在費馬的遺稿、筆記、傳抄本，甚至其它任何可能的地方，去尋找他的證明方法，但都落空了。這的確是個「謎」，人們不得不懷疑，費馬是不是證明過這個定理，還是在什麼地方弄錯了。
直接證明費馬大定理的艱巨困境促使人們按數學解決問題的傳統，就是要作變換，把問題轉化為已知的或易於解決的領域的新問題去解決。近三個多世紀來，經過包括黎曼、莫德爾等許多數學家艱苦卓絕、前赴後續的工作，把費馬大定理與代數曲線上的有理點（坐標都是有理數的點）聯繫起來。種種轉化推動了數學相關領域的發展，也推動了費馬大定理的證明進程。
英國年輕的數學家維爾斯利用19世紀以來研究並發展起來的橢圓函數理論及其研究成果，最終證明了費馬大定理。
1993年6月在劍橋牛頓學院要舉行一個名為「L函數和算術」的學術會議，組織者之一正是懷爾斯的博士導師科茨，於是在1993年6月21日到23日懷爾斯被特許在該學術會上以「模形式、橢圓曲線與伽羅瓦表示」為題，分三次作了演講。聽完演講人們意識到谷山---志村猜想巳經證明。由此把法爾廷斯證明的莫德爾猜想、肯.裡貝特證明的弗雷命題和懷爾斯證明的谷山---志村猜想聯合起來就可說明費馬大定理成立。其實這三個猜想每一個都非常困難，問題是懷爾斯最後證明，他變為完成費馬大定理證明的最後一棒。
1993年6月23日從劍橋牛頓學院傳出費馬大定理被證明之後，世界媒體普天蓋地般報導了該喜訊。
1993年6月維爾斯長達200頁的論文評審時，被發現其證明有漏洞，1993年7月他開始修改論文，補正漏洞。懷爾斯的證明被分為6個部分分別由6人審查，其中第三部分由凱茲負責的查出關於歐拉系的構造有嚴重缺陷，使科利瓦金---弗萊切方法不能對它適用，懷爾斯對無能為力，1993年12月懷爾斯公開承認證明有問題，但表示很快會補正。
1994年9月維爾斯終於克服困難，重寫了一篇108頁的證明論文，10月寄往美國《數學年刊》，順利通過審查，1995年5月《數學年刊》的41卷第3期上只登載了他的這一篇論文。這一成果被認為是「20世紀最重大的數學成就」。
20世紀最傑出的數學成就有兩個，一個是阿蒂亞—辛格指標定理，另一個是費馬大定理。
從勾股定理到費馬大定理，歷時幾千年的兩個定理，史上最精彩的一個數學謎題。證明費馬大定理的過程是一部數學史。