本文來自《環球科學》2016年2月號,轉載請聯繫newmedia@huanqiukexue.com。
在數學家眼中,符號與數字不僅代表著冰冷的邏輯,還蘊含著崇高的美。
撰文 克拉拉·莫斯科維茨(Clara Moskowitz)
翻譯 杜立配
公式美嗎?對於科學家來說,公式可以展現大自然的基本原理,或者將複雜的東西簡潔地表達出來,這的確妙不可言。但對於普通大眾中的一些人而言,公式也可能是美的反面——令人生畏、功利主義以及晦澀難懂。然而對另外一些人來說,正是公式的神秘使其變得迷人:即便不能理解公式的含義,我們也可以被它們所打動,因為我們知道,有些公式蘊含著一些超出我們理解能力的含義。此外,不管是數學家還是普通人,都能被這些公式純粹的美學感染力所吸引——它們優雅的、有時難以理解的符號以一種視覺上完美的形式組合在一起。
為了研究數學內在的以及視覺上的美,達特茅斯學院的數學家丹尼爾·羅克莫爾(Daniel Rockmore)和Parasol出版社的鮑勃·費爾德曼(Bob Feldman)展開了合作:他們請10位著名數學家和物理學家寫出他們心目中的「最美數學公式」,然後讓哈倫-韋弗(Harlan & Weaver)印刷公司用凹版腐蝕製版法把這些表達式做成了22×30英寸的蝕刻版畫。「我當時非常小心,只要求他們選出『最美數學表達式』,除此之外沒有給出其他任何提示,」羅克莫爾說道,「從這10幅版畫我們可以看到,對於不同的人,他們心目中的最美數學公式意味著不同的東西。」
很多人選擇了經典公式,比如史蒂芬·斯梅爾(Stephen Smale)給出了牛頓的著名公式。也有科學家選擇了和自己關係緊密的公式,包括他們自己發現的、與自身畢生研究興趣緊密相關的公式——例如弗裡曼·戴森(Freeman Dyson)選擇了他自己發現的麥克唐納公式(MacDonald equation)。「我喜歡戴森的選擇,」羅克莫爾說,「它纖薄而有序,視覺上極有衝擊力。再加上這些階乘的小感嘆號,實在是漂亮極了。」
這個項目的名字叫做「Concinnitas」,名字來源於義大利文藝復興時期學者萊昂·巴蒂斯塔·阿爾貝蒂(Leon Battista Alberti),原本是用於描述在優美藝術中不可或缺的各類元素的平衡。2014年12月,這些展品於蘇黎世的安娜瑪麗·韋爾納美術館(Annemarie Verna Gallery)首次公開展示,後來又在其他5個美術館展出,並計劃去往更多的地方。下面,你可以欣賞到其中的5塊版畫。
1安培定律
推選人:西蒙·唐納森(Simon Donaldson),紐約州立大學石溪分校數學家
唐納森並沒有選擇一個單獨的公式,而是列出了三個式子並畫了一條打了紐結(如果你對拓撲學有所了解,你就會知道這種奇異的纏繞方式)的電線。電流(J)沿著大箭頭的方向在電線中穿過並產生磁場(B),其方向由小箭頭表示。這三個式子便是所謂的安培定律,描述了電流是如何產生磁場的。圖像和公式展示了電磁學與拓撲學之間的聯繫,拓撲學是數學中涉及紐結與空間關係的分支學科。唐納森表示,他之所以認為這套公式和圖像很美,是因為它揭示了「曾經被認為完全不同的事物之間的新關聯」。將電磁學的一些數學和理念應用到紐結的研究中,研究人員發現了確定看似不同的紐結在根本上是否相同的新方法,就像炸面圈和咖啡杯在本質上具有相同的形狀,只不過變形後看起來不同而已。
2麥克唐納公式
推選人:弗裡曼·戴森(Freeman Dyson),普林斯頓高等研究院物理學家
這個公式是由戴森本人稍晚於數學家伊恩·麥克唐納(Ian MacDonald)獨立推導出來的,它是對經典的τ函數進行重新表述而得到的新公式,因印度數學家斯裡尼瓦薩·拉馬努金(Srinivasa Ramanujan)的研究,τ函數此前就聞名於世。在麥克唐納公式中,5個變量a、b、c、d、e兩兩組合併相減,得到10個差值,將它們全部相乘,並除以1、2、3、4的階乘(一個正整數的階乘是所有小於或等於該數的正整數的乘積,如4的階乘為4! = 1 × 2 × 3 × 4)之積。對戴森而言,這個表達式的優美之處在於它揭示了τ函數的5個變量之間的一種對稱,或者說平衡。這個式子還有一種難以名狀的美,「它並沒有具體地告訴你關於宇宙的什麼真理,它只代表它自己,就像一首音樂,」他指出,「要問它究竟代表什麼就如同問一首貝多芬三重奏有什麼含義一樣沒有意義,你只需要去聆聽它就好了。」這個公式屬於純數學的一個叫做數論的分支。
3虧格g曲線模空間
推選人:戴維·芒福德(David Mumford),布朗大學數學家
我們的宇宙在空間上只有三個維度,但是數學家可以想像它包含更多的度。這個表達式描述了一個維數為3 g – g的空間,並且當g足夠大時,空間的形狀是負向彎曲的,如同馬鞍的表面。當芒福德發現這個表達式時,「我覺得這是一個令人吃驚的結果,尤其是13這個奇怪的數字出現在其中。」他回憶道。大多數基本的數學表達式都只包含變量、算符以及像1、2這樣的小整數,因此這個表達式中出現13這個相對比較大的數就顯得不同尋常。對於芒福德來說,正是這個式子的奇特之處使其妙不可言。「數學家通常都認為你所發現的事實都必然是由邏輯預先決定好的——它們必須是這樣的而不能是那樣的,」他說,「然後你突然得到了一個奇怪的數字,你就不得不想,『為什麼它必須如此呢?』」
4牛頓法
推選人:史蒂芬·斯梅爾(Stephen Smale),香港城市大學數學家
牛頓法是用來近似求解方程的一種數學方法,對於無法直接求解的方程f(x)=0,用牛頓法可以求得它的近似解。要使用牛頓法,首先我們需要選取任意實數x,減去函數f (x)除以其在該點的導數f '(x)的商,並得到新的x。這個過程每迭代一次,x就更接近於方程的解。這個方法非常方便,然而即便是牛頓也沒能解釋它為何如此有效。正是這個謎團讓這個方程對斯梅爾充滿了吸引力。「為了理解牛頓方程,探索它在什麼情況下有效,我已經付出了很多心血,」他說,「但我個人感覺,一個偉大的問題是永遠不可能解決的,它只會成為越來越多的研究工作的焦點。」
5電弱理論的拉格朗日量
推選人:史蒂文·溫伯格(Steven Weinberg),德克薩斯大學奧斯汀分校物理學家
大自然有四種基本相互作用力,而這個式子統一了其中的兩種——電磁相互作用與弱相互作用(放射性衰變的原因),揭示出它們只是同一枚硬幣的正反兩面。這個公式由溫伯格在1967年發現,它表明在某些能量下,電磁相互作用力與弱相互作用力會統一成同一種相互作用——電弱相互作用,這個發現也讓溫伯格榮獲1979年諾貝爾物理學獎。這裡L 代表拉格朗日密度,本質上是相互作用力所對應的場(由A和B表示)的能量密度。「我覺得這個式子的美與式中那些符號的形狀無關,」溫伯格說,「使這個理論優美的是它的嚴格性,即哪怕只改變它一絲半毫,它就不再是它了。它的細節已經被一些深層次的基本原理完全確定。」
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