數學中有哪些美麗公式?最美公式帶你玩轉數學

出品：科普中國

製作：中國科學院數學與系統科學研究院 黃逸文

監製：中國科學院計算機網絡信息中心

（一） 圓周率級數表達公式

自古以來，人們就痴迷於如何計算圓的周長。以拉丁字母π標記的圓周率，其定義就是一個圓的周長相對於其直徑的比。儘管圓是如此地簡單和完美，在生活中更是有舉足輕重的應用，但是眾多先賢對計算π的精確值卻一籌莫展。

早在古希臘時期，主流的畢達哥拉斯學派就認為世界上所有的數都是有理數。具有諷刺意義的是，無理數正是畢達哥拉斯的弟子所發現，因為和主流思想相悖，最終被其學派迫害身亡。然而對π是有理數還是無理數的爭論，以及如何簡單便捷地計算出π的具體值卻困擾了人們1000多年。

早在南北朝時期，中國的祖衝之用古老的算籌計算出圓周率π的近似值介於3.1415926到3.1415927之間。如此精確地測量圓周率有著積極的現實意義。他因此能夠修正古代的量器容積的計算，極大地改進了生產實踐的需要。儘管如此，祖衝之的方法雖然簡單，但卻需要極為持久的耐心和仔細，以至於他的記錄直到一千多年後才被打破。圓周率π就好像一份寶藏，為它的主人牢牢地守護著自己的秘密。

這個公式將圓周率精確地表達為數學的級數公式，一舉揭示了作為無理數π的終極秘密。它是由德國數學家萊布尼茨在1673年發現，也因此被後世稱為萊布尼茨公式。事實上，與萊布尼茨同時期的蘇格蘭數學家格列固裡、印度數學家索馬亞吉均獨立發現了類似的級數公式。在參與人們的生活數千年後，圓周率π終於第一次清晰地展露出自己的的真實面目。

（二） 歐拉公式

這個公式是由瑞士數學家歐拉發現。該公式由5個數學上最簡單的符號組成，它通過3種基礎運算，即加法、乘法和冪運算就將1、0、π、i和e這五個數學中最重要的數字聯繫在了一起，堪稱天才的完美之作。

它是數學與世界之間兼具理性色彩與深邃之美的巔峰之筆。它是純粹的數學之美，淋漓盡致地展現出數學作為跨文化、跨種族的通用語言的簡單與和諧，讓人們得以一窺數學穿越宇宙時空通行無礙的完美特性。

（三）傅立葉級數

特別的，對以[-π,π]為周期的可微分函數f（x）有如下的無窮級數表達式：

1807年，法國數學家傅立葉發現任何可微分的函數都可以用正弦函數與餘弦函數的加和表示出來，不論原始函數的圖形多麼詭異，這種表示都可以達到任意需要的精度。

透過傅立葉發明的數學工具，數學分析領域進入了全新的時代。從數學的角度來看，傅立葉的定理告訴我們，任何曲線不論其本質如何，都可以用數不盡的簡單曲線加以取代，或者說，所有曲線都可以用堆疊波紋的方式加以呈現。這提供了人們認識事物的極為強有力的工具。

時至今日，世界上很多領域都受益於傅立葉級數的應用。從震蕩分析到影像處理，從激動人心的音樂創作到資訊時代大放異彩的通訊技術，到處都有傅立葉級數的蹤跡。甚至人們可以通過遙遠星空所發出的光就能分析所在星球的化學成分，歷史上人們就是通過光的頻譜分析才逐步認識到太陽發光發熱的秘密等等。這一切，都是傅立葉級數的應用帶給世界文明的饋贈。

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