世界上最美麗的數學公式

引

在科學的世界，人間最美的是「天書」般的方程：

從數學基石1+1=2到揭示電磁現象的「麥克斯韋方程」，

從開啟暗黑之門的E = mc⊃2;到神秘莫測的「薛丁格方程」，

從簡潔至極的e^πi+1=0到讓相對論量子理論牽手的「狄拉克方程」……

這些公式如此美麗而精妙，是地球上偉大智者一生的凝練。

今天，一起欣賞至美公式。有趣而美好，人人都可以愛上數學。

01

畢達哥拉斯定理

Pythagorean theorem

發現者 商高、畢達哥拉斯

在中國古代，大約是公元前十一世紀戰國時期，西漢的數學著作《周髀算經》中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：「…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五。」商高那段話的意思就是說：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5。以後人們就簡單地把這個事實說成「勾三股四弦五」。這就是著名的勾股定理，也稱為「商高定理」。

在西方，最早提出並證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等於兩直角邊平方之和。畢達哥拉斯則得出背後的規律，這位數字原教旨主義者、高舉「萬物皆數」的暴君，愛上數學真不是故弄玄虛，畢達哥拉斯定理是人類歷史上第一次讓數字與幾何完美融合。

牽一髮而動全身，畢達哥拉斯定理在溝通數字與客觀世界的同時，還導致了人類歷史上第一次數學大危機——√2無理數的發現。

02

歐拉公式

Euler's formula

發現者 歐拉

題詞

歐拉28歲右眼失明，年過60完全失明，多舛多才，憑數學、力學和航海建築學等方面的廣博造詣，被評為歐洲歷史上最多產的數學家，十八世紀被稱為歐拉世紀也毫不過分。

歐拉內心純粹，正如這個歐拉公式，也是用最簡明的方式，溝通了世界上幾乎全部的數學元素。無理數e，它是自然對數的底，隱藏於飛船的速度和蝸牛的螺線。

無理數π，隱藏於世上最完美的平面對稱圖形，引爆數字狂熱。最簡單的兩個實數0和1，是構造代數的基礎。

甚至，最重要的虛單位i也在其中。在歐拉之後的未來，虛數奠定了電子學革命的量子力學的理論基礎。

03

萬有引力

Law of universal gravitation

發現者 牛頓

題詞

自然和自然律隱沒在黑暗中：

神說，讓牛頓去吧！萬物遂成光明。

天地玄黃，宇宙洪荒，日月盈昃，辰宿列張……

在牛頓之前，人類認為這一切都掌控在神的手中；而牛頓之後，人類才知道，天和地以萬有引力為法則，在牛頓發現的定律中運轉。

宇宙和萬物找到了統一規律，物理學達到第一次真正的統一。

所以有人說：道法自然，久藏玄冥；天降牛頓，萬物生明。

而後，以牛頓為代表的機械論之自然觀，在整個自然科學領域中佔據長達200多年的統治地位，現代科學由此形成。

04

黎曼猜想

Riemann Hypothesis

發現者 黎曼

題詞

「數學界無冕之王」希爾伯特表示，如果在死後500年能重返人間，他最想問：

是否已經有人解決了黎曼猜想？過直線外一點，可作其幾條平行線？

黎曼並沒有意識到自己對這個世界的影響會如此深遠，臨走之前非常平靜，沒有掙扎也沒有臨終痙攣，仿佛饒有興趣地觀看靈魂與肉體的分離。

《素數之戀》一書中談到：

他妻子給他拿來麵包和酒，他要她把他的問候帶給家裡人，並對她說：「親親我們的孩子」。她為他誦讀了主禱文，他的眼睛虔誠地向上仰望，幾次喘息以後，他純潔而高尚的心臟停止了跳動。

他長眠在塞拉斯加教區比甘佐羅教堂的院子裡，墓碑上的碑文是：

萬事都互相效力，叫愛神的人得益處。

05

質能方程

Mass–energy Equivalence

發現者 愛因斯坦

題詞

1905年，史上最業餘的公務員愛因斯坦，提出了若干顛覆人類三觀的理論，想像力和膽量都比正常人高出一大截的愛因斯坦宣稱，能量和質量是可以轉換的，一個小小的水杯都能炸掉半個城市，不僅如此，能量和質量之間的關係還超級簡單。

愛因斯坦曾戲稱：

「當結論看起來很簡單時，一定是上帝在回答。」

此番言論無疑打了無神論者愛因斯坦的臉。

但換句話說，如果這個方程來自上帝，那原子彈一定是上帝對人類開的玩笑。但這個方程的出現，也打開了潘多拉魔盒，全人類都在這個公式下已經顫抖了60年！

06

麥克斯韋方程組

Maxwell's Equations

發現者 麥克斯韋

題詞

如果你能看懂這組方程，那麼恭喜你，高數基本不會掛掉了。

如果你能看懂這組方程虎軀一震，認為只有上帝才能創造如此完美公式，那更恭喜你，你擁有強大的數學審美。

因為，全世界至少有100個物理學家跪倒在它的石榴裙下。簡單地說，這是一組描述電場、磁場與電荷密度、電流密度之間關係的偏微分方程，由兩個散度方程、兩個旋度方程組成，相互之間耦合，變化萬千。

麥克斯韋的公式融合了電與磁的四大定律，在此之後，電即是磁，磁即是電。

這個方程組是人類歷史上空前絕後的物理學大一統，給物理學家打了一劑雞血，以愛因斯坦為首的眾多科學家，都緊跟麥克斯韋的腳步，尋找物理學大一統。

07

薛丁格方程

Schrödinger equation

發現者 薛丁格

題詞

關於薛丁格，恐怕他的那隻貓比他本人更加出名，因為薛丁格的貓雖然成功在宏觀層面闡釋了量子疊加原理問題，但卻像一個潘多拉魔盒，引出了平行宇宙等一系列爭議，搞得很多科學家都懷疑人生。

最後連薛丁格都搞不懂薛丁格方程了，它相當於量子力學界的牛頓第二定律，只不過，公式的主人一個是史上最傲驕的處子，一個是荷爾蒙泛濫成災的把妹大神。

回歸正題，薛丁格方程顛覆了人類所認知下，這個確鑿無疑的世界。

薛丁格說，世界是隨機的，這一結論直接挑戰了愛因斯坦建立的確定宇宙觀，薛丁格方程為好萊塢大片提供了理論基礎，騙取了無數票房。迄今為止，量子力學與相對論是關於宇宙彼此不同，又平分秋色的解釋。

08

香農定律

Shannon Theory

發現者 香農

題詞

進入資訊時代，你們除了要感謝數學家傅立葉，還要好好感謝信息領域的牛頓——香農，他是當之無愧的資訊理論師祖。那些玩著「王者毒藥」，看著《花木蘭》，拿著衛星電話旅遊，電話裡與女友你儂我儂的朋友記住了，香農是我們的大恩人。

如果說傅立葉啟發人們如何傳輸信號，那麼香農的功勞相當於搭建了信息世界的交通網絡。香農定律則嚴格證明，在被高斯白噪聲幹擾的信道中，計算最大信息傳送速率C是什麼。喝水不忘掘井人，別只記得賈伯斯，還有背後的大神香農。

09

狄拉克方程

Dirac Equation

發現者 狄拉克

題詞

狄拉克方程的出現，讓整個物理學界長長舒了一口氣，大家終於可以友好地做朋友。差點成功策反愛因斯坦投奔量子理論，他順理成章地成了物理學界的和平使者，大神玻爾和愛因斯坦也找到理由一起握手言歡，這個方程匯集了現代物理學的兩大基石：

量子力學和相對論——描述微觀世界的量子力學和描述高速運動物體特性的狹義相對論。

也許最重要的是，狄拉克方程預言了反物質（所有已知粒子的鏡像）存在。2017年7月21日，4位華人科學家宣布找到正反同體的「天使粒子」，都不過是在驗證1928年偉大的理論物理學家狄拉克(Dirac)作出驚人的預言：

宇宙中每一個基本費米粒子必然有相對應的反粒子。

10

三體問題

The Three-body Problem

發現者 牛頓、拉格朗日、拉普拉斯、泊松、雅可比、龐加萊

題詞

三體問題像個暴躁的國王，它喜怒無常的出行路線永遠讓人捉摸不定。

當理論物理學家普遍開始絕望時，現實中的拉格朗日點已有所應用。

一切都是未知。摧毀三體的光粒文明，之所以能擊中三體的一顆恆星，是因為他們解析出了三體運動，才能精確擊中嗎？這一切，並非僅僅是科幻，更要作出科學的理性思考。

11

楊-米爾斯規範場論

Yang-Mills Theory

發現者 楊振寧、米爾斯

題詞

2012年希格斯粒子發現後，「規範場論」最後一個缺陷被彌補，它統一了目前自然界的四種基本力中的三種，愛因斯坦窮盡後半生追求的「大統一理論」——「規範場論」正在步步逼近。

但物理學的終極奧義會走向哪裡呢？

人類最偉大的科學家，紛紛踏上了那個用生命交換真理的祭壇。

這一小撮人一邊追尋著夢寐以求的答案，一邊走向最後的滅亡。

或許，這條路的終點，就是為了探尋宇宙的終極之美，很有可能為之付出了一切，也終究無法到達。

結

發現人文與數學之美

改編大師羅丹的話：

數學中不是缺少美，而是缺少發現美的眼睛。

我們以一首人文詩詞來解釋數學的美——大漠孤煙直，長河落日圓。

這首詩描繪了雄闊、壯美的大漠圖景。從幾何學的角度上看，「大漠」可視為一個平面，而直上「孤煙」是垂直於地面的直線（圖1）。

第二句是是將橫臥的長河視為一條直線，逐漸下沉的落日被視為一個圓，「長河落日圓」便是一個圓切於一條直線（如圖2），兩圖對照，涇渭分明，簡潔明了，剛柔相濟。

任何自然的景致都會在歷史波濤中湮沒，

江渚上的白髮漁樵都會成過眼煙雲，

只有抽象出來的美感才會永垂不朽！

「大漠孤煙直，長河落日圓」正是幾何學的高度凝練，人文與數學的美在這裡相聚，才擁有了震撼千古的藝術魅力！

原標題：《世界上最美麗的數學公式》

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