探索:為什麼1/x,1/x^2曲線下的面積一個是無窮大,而另一個是1

2021-01-14 電子通信和數學

我們想要評估一定範圍內的任務時，就需要牛頓-萊布尼茲公式，它簡單明確，你只要將積分出來的原函數在x取值的任意範圍內用上限減去下限即可，這個原函數代表的是曲線下的面積，或者準確的說是x取值範圍內的面積，可以理解一元微積分就是在解決無限延伸的曲線在一個特定的有限區域內的狀況。它可以是面積，可以是重心，或者質心。

但有限的取值範圍是非常簡單的，我們通常需要研究在無限大的範圍內時將會發生什麼，無論是正無窮大，還是負無窮大

假設將一個曲線劃分成無限多的份數，相鄰間隔是無限小的，那麼它與x軸所圍成的面積是不是也是無限大的，實際上並非總是如此，微積分工具就是來解決這些無數次的東西，以獲得一個有限的結果，如下e的級數的無數次疊加反而得到一個有限的結果，這正是微積分思想的重要體現。

如下x從1開始到無窮，首先當我們遠離1並靠近任意數值t時會發生什麼，這裡的t是一個明確的數值

根據簡單的微積分知識得到

因此，如果我們將t取值為2，就得到覆蓋面積是1/2,如果把t取值為10，就得到所覆蓋的面積是0.9

當將t取值無限大的時候，得到1作為答案，這個結果非常令人難以置信的

這就意味著從1開始，無限延伸的曲線下的面積等於1，為了更好的描述這一個過程，數學上通常用如下的形式來描述t的變化情況，叫做反常積分

在t趨於無窮大時，我們不可能總是這麼幸運能得到一個準確的數值，所以也就有了發散和收斂這一說法，如果趨於無窮大能得到一個準確的數值，則反常積分收斂，反之則是發散，而判斷一個積分是否收斂還是發散其實還是比較困難的，我們來看一個和上面相似的例子，有關自然數對數的積分，經過簡單的積分得到

你會發現t變大時，這個積分也變大，而且是無限制的一直到無窮大，這個沒有像第一個那麼好用，儘管這兩個函數看起來非常相似，但它們是不同的

由此我們得出一個結論：1/x^2得到一個足夠小足夠快的面積，所以曲線下的面積是有限的，而1/x雖然也是足夠小，但是當x接近無窮大時雖然1/x為0，但是它不夠快，所以是微積分告訴我們這個事實

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