p是曲線上的點,則該點到直線x-y-1=0的最小距離?幾個符合的切線

2021-01-15 玉w頭說教育

原題

原題：設點P是曲線y=e^x+x^2上任一點，則點P到直線x－y－1=0的最小距離為多少？

圖一

這道題是常見的類型題，很多時候我們會被給出的曲線y=e^x+x^2迷惑，不知道該如何解決。

其實無論是什麼樣的曲線只要是讓你求曲線上的點到定直線的最小距離，都是先找到該p點到直線x－y－1=0的最小距離時的狀態，而此時的點P處的斜率恰好就是直線x－y－1=0的斜率。

根據斜率相等建立等量關係

設點P到直線x－y－1=0的最小距離時的p點坐標為p(x0,y0)，又因為一次導數y＇=(e^x+x^2)＇=e^x+2x，所以在曲線y=e^x+x^2在該p點的斜率為K=y＇|x=x0=e^x0+2x0。

根據該曲線在p點的切線和直線x－y－1=0平行時，點P到直線x－y－1=0的最小距離，又因為直線x－y－1=0的斜率為1，所以e^x0+2x0=1。

這裡主要是求出x0，然後再根據x0求出點p的坐標，再根據點p的坐標和點到直線的距離公式就可以求出點p到直線x－y－1=0最小距離。

關鍵是如何根據e^x0+2x0=1求出x0。

圖二

求出x0的數值以及點P的坐標

對於e^x0+2x0=1可以用特值法，得出x0的數值，但是我們不知道該等式e^x0+2x0=1有幾個解，對於任意的曲線來說可能會存在不止一點的斜率到定直線的距離最小，即e^x0+2x0=1有幾個解就有幾個符合的切線。

所以還要將等式e^x0+2x0=1看成一個方程來判斷其單調性，根據函數的單調性來判斷其有幾個解，防止丟落過程。

設g(x)=e^x+2x－1，g＇(x)=e^x+2>0恆成立，所以g(x)=e^x+2x－1在實數R上是增函數，所以函數g(x)只有一個零點。

所以e^x0+2x0=1隻有一個解，即x0=0。

當x0=0，所以y0=1，所以點p的坐標為(0,1)。

根據點到直線的距離，所以點P到直線x－y－1=0的最小距離為d=|0－1－1|/√2=√2。

圖三

總結

這道題是常見的類型題，要想得到該曲線上的點到直線x－y－1=0距離最小，則在該曲線上的某一點切線斜率與該直線的斜率相等時，此時曲線上的點到直線的距離就最小。

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