求經過某點的圓的切線方程，首先要判斷該點在圓上還是在圓外，因為：
一、當這個點在圓上時，只有一條切線，當這個點在圓外時，有兩條切線。
二、這兩種情況所用的解法也不同。
例1是點在圓上的情況。
首先判斷點P相對於圓的位置：把x＝5，y＝5代入圓的方程，容易得出等式的兩邊相等，所以點P在圓上，故過點P的切線只有一條。
然後求這條切線的方程：切線過點P，故只需求出其斜率即可。根據切線的性質可知，連接圓心和切點的直線垂直於切線，由此可以求出切線的斜率。
最後使用點斜式寫出切線的方程。詳細過程如下。
也許你有疑問：你怎麼知道切線一定有斜率？因為有且只有一條切線，所以可以假定它有斜率，然後求斜率，如果求出來了，那這條直線就是要求的切線方程，如果求不出來，說明切線的斜率不存在。這樣做可以省一些步驟。
實際上，當點P在圓上時，過點P的切線方程有一個現成的公式可用，使用這個公式只需一步即可求出切線方程，很方便。如果有條件，希望你能記下這個公式，考試的時候遇到這樣的題目能節省你不少的解題時間。
例2是點在圓外的情況。
和例1一樣，先判斷點的位置：把x＝1，y＝2代入圓的方程，發現左邊＝5＞右邊＝1，說明點在圓的外面，故過點(1,2)有兩條切線。
然後求切線的斜率，這種情況要根據圓心到切線的距離等於半徑來列方程。請體會與例1求解的不同之處。