關於直線y=x對稱點坐標例析

【勵志故事】河邊的蘋果

一位老和尚，他身邊聚攏著一幫虔誠的弟子。這一天，他囑咐弟子每人去南山打一擔柴回來。弟子們匆匆行至離山不遠的河邊，人人目瞪口呆。只見洪水從山上奔瀉而下，無論如何也休想渡河打柴了。無功而返，弟子們都有些垂頭喪氣。唯獨一個小和尚與師傅坦然相對。師傅問其故，小和尚從懷中掏出一個蘋果，遞給師傅說，過不了河，打不了柴，見河邊有棵蘋果樹，我就順手把樹上唯一的一個蘋果摘來了。後來，這位小和尚成了師傅的衣缽傳人。

　　世上有走不完的路，也有過不了的河。過不了的河掉頭而回，也是一種智慧。但真正的智慧還要在河邊做一件事情：放飛思想的風箏，摘下一個「蘋果」。歷覽古今，抱定這樣一種生活信念的人，最終都實現了人生的突圍和超越。

 

    例：如圖，在平面直角坐標系中，函數y=x的圖像l是第一、三想先的角平分線。

    實驗與探究：

    由圖觀察易知，A（0,2）關於直線l的對稱點A』的坐標為（2,，0），請在圖中分別標明B（5,3）、C（-2,5）關於直線l的對稱點B』、C』的位置，並寫出它們的坐標B』________C』_______；

    歸納與發現：

    結合圖像觀察以上三組點的坐標，你會發現：坐標平面內任意一點P（m，n）關於第一、三象限角平分線l的對稱點P』的坐標為：P』（__，__）

    運用與拓廣：

    已知兩點D（0,-3）、E（-1，-4），試在直線l上確定一點Q，使QD+QE得值最小，並求出QD+QE的最小值和此時Q點的坐標。

 

        分析：本題第一問可以根據對稱點的作圖來完成找到對應點，在確定其坐標，也可以通過A與對稱點A』的坐標關係，猜測B、C的對稱點坐標；第二問就可以由第一問的探索結果直接得出結論；第三問利用前面所得，轉化對稱點，利用兩點之間線段最短來解決問題。

解：

    （1）如圖所示，B』（3,5）、C』（5，-2）；

（2）P』（n，m）；

（3）如圖所示，取D（0,-3）（或者E）關於直線l的對稱點 D』（-3,0），連接ED』，交直線l於Q，此時QD+QE得值最小；Q點是線段ED』：y=-2x-6與直線y=x的交點，可求得Q（-2，-2） ；

 

小結論：

關於直線y=x（即第一、三象限角平分線）對稱的兩點，橫縱坐標互換位置；

關於直線y=-x（即第二、四象限角平分線）對稱的兩點，橫縱坐標除符號外數值互換位置，即：A（m，n）關於y=-x的對稱點A'(-n，-m）；例：

A（-2，4）關於y=-x的對稱點A'（-4,2）。

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