直線關於直線的對稱直線——到角公式法

2021-02-28 高考數學左老師

微信暱稱為「ε=ε=唄」的讀者朋友留言問到：

老師，我想請教一下直線，點之間的對稱問題（比如直線關於直線的對稱直線方程），有沒有一些靈活的解法。因為我在算這些問題時總是得去找一個對稱點，或者斜率，覺得很耗時間，運算量太大了.

ε=ε=唄，

的確，你講到的對稱問題屬於這個類型：有思路，思路也清晰，但就是有運算量.

運算量大，是因為要求解對稱點.

如何能夠避開求對稱點呢？

下面以「求直線m：x+y-1=0關於直線p：3x-y-3=0對稱的直線n的方程」為例，講兩個不求對稱點的方法.

角平分線法

畫出符合題意的圖象如下.

首先，求出直線m和對稱軸p的交點坐標，即A(0,1).

顯然，A點在所求直線n上.

因為直線m，n關於直線n對稱，我們可以把p看作角平分線.

在直線p上取個特殊點，當然越有利於運算越好，一般取在坐標軸上的點.

我們取直線p與y軸的交點B（0，-3）.根據角平分線的性質，點B到直線m和直線n的距離相等.

到角公式法

我上學時是要學習到角公式的（暴露年齡了哈），現行教材砍掉了.

其實也不複雜.

如下圖所示.

直線m和直線n相交於點P，直線m繞點P逆時針旋轉，第一次與n重合時所轉的角α稱為直線m到直線n的角.

那麼，直線n到直線m的角是哪一個呢？

根據定義，應該是角β.

我們能看出，到角是帶有方向的角，也稱為有向角.

下面介紹到角公式.

其中α是到角.

k1是原直線的斜率，k2是到直線的斜率.

換句話講，分子部分是逆時針方向箭頭所指的直線斜率減去另一斜率.

用到角公式優化解題

回到原題.

顯然，直線p到直線m的角等於直線n到直線p的角.

設直線n的斜率是k.

因為直線m的斜率是-1，直線p的斜率是3，根據到角公式有：

又因為直線n過點A(0，1)，所以直線n的方程是x-7y-1=0.

溫馨提示：要獲取微信公眾號「高考數學左老師」的精華內容，可以回復「關鍵詞」，你會獲得一份關鍵詞列表.根據這份列表，回復對應的關鍵詞，就可獲得內容.

推薦閱讀：y=|x|算不算有極小值？

上一篇：二次函數的零點分布與整數問題

--END--

蘋果手機用戶專屬讚賞二維碼

對您有用，打個小賞支持我繼續寫

相關焦點

  • 與已知直線關於某直線對稱的直線方程,這麼求最好,高中數學
    已知直線L1和L，求L1關於L對稱的直線L2的方程，這樣的題型一般有兩種：1、直線L1和L相交；2、直線L1和L平行。第01題：直線L1和L相交。因為直線L1與L相交，根據直線對稱的特點，所以L1 與L的交點肯定在直線L2上，也就是說這3條直線交於同一點，聯立L1與L的方程，解方程組即可求出這個交點。求出的這個交點在直線L2上，故只需再求出直線L2的斜率就可以了。
  • 關於直線y=x對稱點坐標例析
    實驗與探究：    由圖觀察易知，A（0,2）關於直線l的對稱點A』的坐標為（2,，0），請在圖中分別標明B（5,3）、C（-2,5）關於直線l的對稱點B』、C』的位置，並寫出它們的坐標B』________C』_______；    歸納與發現：    結合圖像觀察以上三組點的坐標，你會發現：坐標平面內任意一點P（m，n）關於第一、三象限角平分線
  • 高中數學知識點-直線中的對稱問題
    在高中數學必修二的第三章「直線方程」中，有一個小專題為直線中的「對稱問題」，主要有：點關於點對稱、點關於直線對稱、直線關於點對稱、直線關於直線對稱.其中點關於直線的對稱、直線關於直線的對稱，這兩種形式在教師招聘考試當中考察較多，今天就看看這兩種問題應該如何突破.
  • 高中數學,直線與圓的方程,直線關於坐標軸鏡面反射典例分析
    高中數學，直線與圓的方程，直線關於坐標軸鏡面反射典例分析。根據「反射光線把圓C分成的兩段弧的長度之比為1：3」這句話可以求出一個重要的角度，即反射光線與圓C相交所得的弦所對的圓心角等於90度，又因為圓的半徑是已知的（等於2），故可以根據直角三角形的性質求出圓心到反射光線的距離，這個距離是解決本題的關鍵條件之一。現在咱們有了一個重要的結論：圓心C到反射光線的距離等於根號2。
  • 總結點A關於直線y=±x+m對稱點B坐標規律,讓該對稱點一目了然
    02點A關於直線y=x對稱點B的坐標的拓展圖二同理可證：點A(a，b)關於直線y=x+2對稱點B(b-2，a+2)；點A(a，b)關於直線y=x+3對稱點B(b-3，a+2)；…點A(a，b)關於直線y=x+m對稱點B(
  • 快樂說數:空間中直線與直線之間的位置關係
    >知識點三　空間等角定理知識點四　異面直線所成的角接著是題型分類：題型一　空間兩條直線的位置關係的判定反思與感悟　1.判定兩條直線平行與相交可用平面幾何的方法去判斷，而兩條直線平行也可以用公理4判斷.題型二　球的截面問題反思與感悟　1.空間兩條直線平行的證明：一是定義法：即證明兩條直線在同一個平面內且兩直線沒有公共點；二是利用平面圖形的有關平行的性質，如三角形中位線，梯形，平行四邊形等關於平行的性質；三是利用公理4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行.
  • 2019高考數學備戰,函數圖像關於直線x=a對稱,掌握了特點特簡單
    一般來說，對於函數f(x)（x∈R），若滿足f(x)＝f(2a－x)或者f(a＋x)＝f(a－x)，則函數f(x)的圖像關於直線x＝a對稱；兩個點關於直線x＝a對稱，則這兩個點的橫坐標之和等於2a，且縱坐標相等，根據這一特點可以設計出豐富的題型，但不管什麼題型，只要理解了這一特點，都可以很順利地做出來
  • 2019高考數學備戰,函數圖像關於直線y=-x對稱,不會太可惜
    咱們練了很多關於形如點（0,1）、點(1,0)、直線x＝1，以及直線y＝x的題型，很多學生會忽視函數圖像關於直線y＝－x對稱，因為這種情況比較少見，但是一旦高考考查了，會措手不及，如果因此做錯了會很可惜，因為稍加理解就可以很好的掌握這類題型；兩個函數的圖像關於直線y＝－x對稱的最大特點是：如果其中一個函數圖像上有一點
  • 射影法求異面直線之間的距離
    ，單獨歸為一類是因為很重要也最常用，以後會單獨出一篇關於等體積轉化法的內容。5.公式法，太複雜，記不住6.極值法，原理是異面直線之間公垂線最短，用函數的思想去解，屬於知道就可以型。7.射影法，還算不錯的方法，簡單易懂今天說到的射影法用到了上面的轉化法，若異面直線a,b，其中b∈平面β，且a//β，則a到平面β的距離即為所求異面直線距離，若a∈平面α，b∈平面β，且α//β，則兩平面之間的距離即為所求異面直線的距離。
  • 高中數學必修二總複習(第三章直線與直線方程)
    第三章直線與直線方程兩直線平行的判定:方法：兩直線相交的判定:兩直線垂直的判定:4.點到直線的距離，平行線的距離題型一求直線的方程例1、求適合下列條件的直線方程：（1）經過點P（3，2），且在兩坐標軸上的截距相等；（2）經過點A（-1，-3），且傾斜角等於直線y= 3x的傾斜角的2倍.選擇適當的直線方程形式，把所需要的條件求出即可.
  • 投影法求異面直線之間的距離
    ，以後會單獨出一篇關於等體積轉化法的內容。5.公式法，太複雜，記不住6.極值法，原理是異面直線之間公垂線最短，用函數的思想去解，屬於知道就可以型。7.射影法，還算不錯的方法，簡單易懂今天說到的射影法用到了上面的轉化法，若異面直線a,b，其中b∈平面β，且a//β，則a到平面β的距離即為所求異面直線距離，若a∈平面α，b∈平面β，且α//β，則兩平面之間的距離即為所求異面直線的距離。
  • 高一數學,直線和圓的方程,和初中直線方程是否相同
    高一數學必修二，學到直線和圓的方程章節的時候，我都會暗自驚喜，心想：終於學到了和初中關係比較密切的知識點了，然而，回頭看同學們做題才發現，根本沒必要驚喜。函數說難，可以理解，怎麼到了直線方程，還再把錯誤延續呢？
  • 七年級數學的線段、直線、射線與角的有關知識,你掌握了嗎
    3.兩點間線段的長度叫做兩點之間的距離4.角的兩條邊是射線，是無限延伸的5.如果兩個角的和等於90度，就說這兩個角互餘，即其中一個角是另一個角的餘角。6.如果兩個角的和等於180度，就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角。二、公理1.經過兩點有且只有一條直線，也稱為「兩點確定一條直線」.2.兩點之間的連線中，線段最短，簡稱「兩點之間，線段最短」.
  • 【課堂實錄】直線 射線和角的認識 陳固鎮中心小學趙春紅
    教學目標：1、使學生經歷畫圖、觀察和交流等活動，認識射線、直線和角，能掌握和說明這些圖形的特徵；了解兩點間的距離，並能量出兩點間的距離；能用畫射線的方法畫角，知道表示角的符號和相應的記法、讀法。2、使學生觀察、比較、畫圖和交流等活動中，理解線段、射線、直線之間的聯繫和區別，能按要求畫圖和簡單測量，培養比較、抽象、概括等思維能力和畫圖、操作等技能，積累數學活動的基本經驗，發展空間觀念。3、使學生感受數學與生活的密切聯繫，積極參與學習活動與學習活動並獲得成功的體驗。教學重點：認識射線、直線和角。
  • 從動直線到多維空間
    我們只能看到一個維度的直線，卻看不到這條時間直線。要看到這條時間直線，我們需要將整個畫直線的過程進行錄像。視頻錄像得到之後，我們就能很清晰的認識那條時間條就在時間直線上。這條時間條看起來就是有長度的三維空間中的線段。它只是代辦了時間線段。很多人會覺得這樣的直線有些虛無，並不存在時間直線。時間直線是存在的，因為根據定義，時間直線必然存在。
  • 大學高數:空間直線及其方程
    求點到直線的距離，直接代入公式就可以了。要注意的就是，平面的方程要寫出一般形式，這樣比較好計算。接下來就複習解析幾何中的空間直線及其方程了。對於上初高中的我們來講，只知道平面中的曲線可以由方程表示，但是上了大學之後，空間中的直線，就如前面的平面一樣，也是可以由方程表示的。
  • 我們能接受長的那個對角線當直線,卻不能接受平行線當直線
    你不能說在三維空間中，這個豎線上面到這個中間點有一半長度的直線不是垂直於這條豎線，而只能說它是一條兩倍長度的直線這是基礎的3d空間概念。站在2維看1維，站在2維看3維，站在3維看4維，站在4維看5維。看完你還問，所謂的平行線是怎麼得來的？
  • 新聞資料:未來大型正負電子直線對撞機
    ，選擇低溫超導結構作為下一代直線對撞機的技術方案。主辦第三十二屆國際高能物理會議的中國科學院高能物理研究所向媒體提供相關資料，對此予以分析和解答——　　未來大型正負電子直線對撞機將是一臺超高能量的正負電子對撞機，將建造在總長約三十公裡的地下隧道裡。它由兩臺大型直線加速器組成，對稱放置，分別將正負電子加速到兩千五百億電子伏特的能量，質心系能量達到五千億電子伏特。
  • 四年級上冊數學第三單元:線段、直線、射線和角的基礎知識
    掌握線段、直線、射線，這三種線有什麼聯繫和區別，了解射線和角之間的聯繫是本課的主要內容。一、定義在二年級上冊，我們就已經學習了線段，我知道線段是直的，有兩個端點，可以測量長度。接著，我們就學習了直線，直線沒有端點，是直的，沒有辦法度量長度。要判斷一個圖形是不是線段要滿足上面的三個條件。最後我們學習了射線，射線只有1個端點，直的，也沒有辦法度量長度，要判斷一個圖形是不是線段要滿足上面的三個條件。
  • 思維訓練10.投影法求異面直線之間的夾角
    有的同學會犯如下錯誤：把AM和CN投設到地面你ABCD上，此時AM對應的AB所在的直線，CN對應CB，又因為AB和BC垂直，所以異面直線AM和CN所成角為90°，但是用向量求解時發現夾角並不是90°。想法是好的，如果利用這個想法如何求夾角呢，注意如果將AM，CN投射到底面上，此時除了異面直線的夾角，還有AM與底面的夾角，CN與底面的夾角，以及底面兩條投影之間的夾角，所以這四個角到底有什麼關係。在此引入數學中一個定義：三面角餘弦定理，關於該定義的解釋和證明方法有興趣的可以自行百度，在此不給出，下面以一個例子說明這四個角之間的等式關係：