隨機過程筆記(一)概率論複習(1)特殊分布

2021-02-20 Calculus

隨機過程筆記（一）概率論複習(1)特殊分布

一些重要的概念

1.概率的公理化定義 1933年蘇聯數學家Kolmogorov首次提出了概率的公理化定義

定義1. 稱非負性 若正則性 可列可加性 若

2.隨機變量及其分布

定義2. 定義在樣本空間的實值函數

稱為隨機變量. 稱

其實隨機變量起到了「數化」概率空間的作用. 概率空間

特殊分布

1.均勻分布 這應該是最簡單的連續型隨機變量的分布了. 但他卻有著一些很重要的性質，例如

(a) 產生beta分布. 考慮上拋一枚未知的硬幣，我們想計算其出現正面的概率. 由於硬幣是未知的，所以我們假設其出現正面的概率

於是

這也就得到了beta分布.

(b) 產生某一分布的隨機數. 其實這個性質就是如下定理的推論

定理1. 連續型隨機變量

(c) 產生正態分布的隨機數. 這個原理很簡單，就是中心極限定理. 在

以及

2.指數分布 回憶指數分布的定義，其概率密度函數為

指數分布具有如下重要的性質：

(a) 無記憶性 無記憶性有如下幾個等價的刻畫

最後一個等號的含義應該被理解為「同分布」. 即指數分布的「剩餘壽命」和「完整壽命」是同分布的. 同時在這裡要指出，具有無記憶性的分布，連續型則一定為指數分布，離散型一定為幾何分布.

(b) 其他的一些基本性質. 設

前兩個性質很容易驗證. 第三個性質可由前兩個性質推出. 證明留作讀者練習.(c) 在無記憶性的第三個等價刻畫中，如果

當然，這裡等號也應被理解為同分布. 同時我們指出，如果

3.正態分布 正態分布主要注意以下幾個性質：

(a) 獨立可加性. 即

(b) 多維正態分布的一維邊際分布獨立等價於相關

(c) 多維正態分布的邊際分布仍為正態分布

(d) 多維正態分布的條件分布仍為正態分布.

(e) 多維正態分布的一維邊際分布的線性和仍為正態分布.

在這裡我們著重強調(d). 設

4.Poisson分布 Poisson分布是很重要的離散型分布，在隨機過程這門課的後續部分也會有所體現. 它具有如下的一些重要性質

(a) 獨立可加性. 若

(b) 隨機分解 設進入某商場的顧客數

(c) 若

(d) 二項分布的Poisson近似. 若

即

(e) Poisson的正態逼近. 設

(f) Poisson's Paradigm 一段時間（空間）內小概率時間的發生次數（或大量Bernoulli試驗中小概率事件的發生次數）近似服從Poisson分布. 即若

證明可以利用特徵函數法，留作讀者練習.

5.Gamma分布 在Gamma分布這裡，我們只需要知道其具有獨立可加性，以及兩個特殊的分布與Gamma分布之間的關係即可，即

練習題

已知

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