來源：劉延柱科學網博客，作者：劉延柱。
幾乎所有的軌道交通都是在兩條平行軌道上實現的，因為重心在軌道上方的火車車廂必須由兩條軌道支承才能穩定不倒。但隨著軌道交通技術的發展，僅受單條軌道支承的單軌火車也逐漸成為現實。
最早的單軌火車是將軌道改成索道，讓車廂倒掛在軌道下運行。1825年，英國切斯漢特 (Cheshunt) 的帕而墨 (Palmer,H.) 工程師發明了懸掛式馬車用來運石料，偶爾也運載乘客。這種馬拉的單軌車實際上與纜車或索道車無異，還談不上是真正的單軌火車。
當馬拉動力被蒸汽機代替以後，1876年，在美國的費城才出現真正的單軌火車 (monorail)，成為慶祝美國建國一百周年活動中轟動一時的新鮮玩意。乍一看來，費城的單軌火車外表和懸掛式火車完全不同，車廂不是懸掛而是跨騎在鐵軌上。仔細觀察還可以發現，火車的乘客座位不在車廂內，而是分布在位於軌道下方的車廂兩側的下伸部分，這裡也作為貯存蒸汽機車用煤的倉庫。於是整個車廂的重心被控制在鐵軌的下方，實際上仍是懸掛式單軌火車的變種（圖1）。
圖1 重心下移的單軌火車
1898年，德國工程師朗根 (Langen,E.) 在德國魯爾區的烏帕塔爾市 (Wuppertal)，恩格斯的故鄉，設計建造第一條成功運行的 「漂浮列車」 (Schwebebahn)。自1901年完工後，歷經一個世紀漫長的歲月，古老的懸掛列車至今依舊穿城而過成為市民的出行工具，這在世界工程史中也是不多見的（圖2）。
圖2 烏帕塔爾的「漂浮列車」
懸掛式單軌火車的穩定性不成問題，因為它就是一隻復擺。受到擾動後只能在垂直軸附近作小幅度搖擺。如果將復擺倒立就成了不穩定系統，再小的擾動也能使它傾覆。1852年，法國物理學家傅科 (Foucalt,J.) 創造了世上第一隻陀螺儀。高速旋轉就能保持直立穩定性的陀螺現象，吸引了物理學家和工程師們的注意。當人們對陀螺動力學的知識有了更多了解時，如何利用陀螺效應使一個重心在上的單軌火車也能穩定住，就成為20世紀初發明家們追逐的目標。這一理想在1903年得到了實現，英國人布倫南 (Brennan,L) 在吉林漢姆 (Gillingham) 創造了第一臺用陀螺穩定的單軌火車。1909年11月10日，單軌火車首次在公眾前展示時，40名士兵站立在車廂裡仍能維持穩定行駛引起觀眾極大的轟動（圖3）。
圖3 最早的陀螺穩定單軌火車
要說明單軌火車陀螺穩定的原理，必須先解釋陀螺力矩概念。軸對稱的陀螺轉子快速旋轉時，所產生的動量矩與轉子的旋轉軸，也就是與轉子的對稱軸保持一致。如果安裝陀螺的載體在慣性空間中轉動，必須對轉子施加力矩才能帶動轉子一同轉動。這個力矩的反作用力矩作用在載體上，稱為陀螺力矩，也就是轉子因旋轉軸改變方向而產生的慣性力矩。陀螺力矩的方向由右手定則確定，將食指指向轉子旋轉軸，中指指向載體轉動軸，拇指的方向即為陀螺力矩的方向。
布倫南的單軌火車在車廂裡安裝了兩隻陀螺。陀螺的框架軸垂直，框架內的轉子直徑3.5英尺，重750公斤，在20馬力驅動下以每分鐘3000轉的轉速繞水平軸朝相反方向旋轉 (圖4)。建立與車箱固結的坐標系 (O-xyz)，Ox 軸和Oy 軸分別為前進方向和側向的水平軸，Oz 軸為垂直軸。設，二隻陀螺的極軸及繞極軸的動量矩L1 和 L2 分別沿Oy 軸的正向和負向，框架軸Oz1 和Oz2 與Oz 軸平行。當車廂繞Ox 軸朝一側偏轉時，重力mg 產生繞Ox 軸的傾覆力矩Mg ，使車廂繞Ox 軸有傾倒趨勢，導致陀螺的動量矩L1 和L2 繞框架軸Oz1 和Oz2 朝不同方向進動，進動角速度分別為ω1 和ω2，產生陀螺力矩Mc1=ω1×L1 和Mc2=ω2×L2。因陀螺的轉速相反，L1=-L2，進動角速度也相反，ω1=-ω2，所產生的陀螺力矩Mc1 和Mc2 方向相同，與重力傾覆力矩Mg方向相反而互相平衡，車廂可保持原有狀態而避免傾倒。當車廂因火車轉彎繞垂直的Oz 軸轉動時，如框架軸承光滑無摩擦，陀螺的轉子因保持定軸性而偏離原來位置。如增加限位裝置使轉子保持原位，則隨車廂一同繞垂直軸轉動而產生繞水平軸的陀螺力矩。但兩隻陀螺的動量矩方向相反，所產生的陀螺力矩也方向相反而自相平衡，不會影響火車的運動。這種單軌火車只需要鋪設一條軌道，基本設施的建設時間和成本都大為節省。但是，要耗費大量能源去驅動龐大的陀螺，而且一旦電源出故障中斷，陀螺突然停轉車廂就立刻傾覆。因此，布倫南設計的單軌火車未能實際用於運輸。
圖4 雙陀螺穩定的單軌火車
儘管利用陀螺穩定性的單軌火車在實際應用上存在不少問題，但並未降低工程師和發明家們的興趣和創造熱情。在布倫南製造單軌火車的同一時期，1904年，德國漢堡的船舶工程師施利克 (Shlick,O.) 發明了利用陀螺效應的船舶消擺器。消擺器由單個陀螺構成，陀螺的框架軸水平安放，轉子繞垂直軸旋轉，框架下方沿垂直軸利用配重形成一個復擺 (圖5)。當船舶在海浪作用下左右搖晃時，所產生的陀螺力矩恰好能有效地抑制船舶的擺動。在52噸掃雷艇上的實航實驗表明，消擺器能使原來高達14°的橫傾擺幅降低到不超過1°而大獲成功。施利克船舶消擺器的成功使人產生聯想，將這種陀螺安裝在單軌火車上，應該也能起穩定作用吧。出人意料的是實驗結果並不成功，因為遇到了與運動穩定性有關的理論性問題。
圖5 施利克船舶消擺器
運動穩定性理論，是判斷機械系統平衡狀態是否穩定的理論。對於受擾後的線性化擾動方程，利用指數函數特解導出特徵方程，根據特徵方程根的性質判斷穩定性方法最簡單易行。特徵根的實數部分為負值時，平衡狀態為漸近穩定；為正值時，平衡狀態不穩定。純虛數特徵根對應的受擾運動為有界的周期運動，可認為平衡狀態穩定。雖然後者僅限於線性化系統，但作為工程實用的穩定性判斷方法仍被普遍採用。應用上述方法進行分析，原來靜平衡穩定的機械系統只能依靠靜平衡穩定的陀螺抑制擺動。而原來靜平衡不穩定的機械系統，只能依靠靜平衡不穩定的陀螺使不穩定轉為穩定。漂浮的船舶和單軌車廂之間的差異恰好在於：船舶的重心低於浮心，是靜平衡穩定的機械系統，而車廂的重心高於軌道，是靜平衡不穩定的機械系統。因此，要將施利克消擺器應用於單軌火車，陀螺框架上的配重必須從支點的下方移到上方，形成不穩定的倒擺，這種單陀螺穩定方案才得以實現 (圖6)。有關的理論證明在下文中給出。
圖6 單陀螺穩定的單軌火車
單軌火車有降低基建成本、節約空間等優點，適合人口密集的城市。現代化的單軌火車採用了更先進的技術方案。以1952年德國的阿爾威克 (Alweg) 高架單軌火車技術為代表，車廂為跨越式，兩側也向下伸展，但摒棄了重心下移的笨辦法，而是利用增添的側向輪使車廂穩定。狹窄的鐵軌已演化為粗壯的混凝土梁，鐵輪被橡皮輪代替 (圖7)。這種新型的單軌火車以節約空間、簡化設施、快速、低噪聲等方面的獨特優勢，已發展成為實用的交通運輸工具遍及世界各地。如果將主輪和側向輪改為磁懸浮，則發展為磁懸浮列車。2002年開通的上海的磁懸浮列車速度高達每小時400公裡以上，是最早商業運營的磁懸浮交通線 (圖8) 。我國自主研製的中低速磁浮列車也方興未艾。2017年北京地鐵S1號線就採用了磁懸浮技術。在重慶、成都、長沙、開封等多個城市，各種類型的懸掛式單軌火車紛紛出現，成為這些城市的新景觀。
圖7 側向輪穩定的單軌火車
圖8 上海的磁懸浮列車
參考文獻：
[1] 劉延柱. 高等動力學（第2版）. 北京：高等教育出版社， 2016
（原文註：本文改寫自劉延柱. 單軌火車趣談. 力學與實踐，2009，31(4)：98-100）
以船體的浮心O 為原點，設陀螺的支承中心與O 點重合，建立慣性坐標系 (O-XYZ)，船體坐標系 (O-x0y0z0)，和陀螺框架坐標系 (O-xyz)。其中，Z 為垂直軸，與水平軸Y 組成船體橫搖平面。x0 和y0 分別為船體的縱軸和橫軸，y0 也是框架轉軸。z 軸為轉子極軸（圖9）。設船體的橫搖角為ψ，陀螺框架的擺動角為（圖10）。轉動次序為
圖9 施利克消擺器
圖10 參考坐標系
設船體連同消擺器的質量為m1，相對x0 軸的慣量距為J1，陀螺框架連同轉子的質量為m2，相對y0 軸的慣量距為J2。轉子的極慣量距為J，以角速度ω0 勻速轉動，動量距為常值L0=Jω0。僅保留ψ，的一次項，以 (O-xyz) 為參考坐標系，設i、j、k 為各坐標軸的基矢量，船體與消擺器系統的動量矩為
其角速度為
設船體重心O1 與浮心O 的距離為l1，支架的重心O2 與O 點的距離為l2，船體與消擺器系統對浮心O 作用的力矩為
將以上各式代入動量矩定理：
波浪號表示相對 (O-xyz) 的局部導數，投影到x、y軸，得到動力學方程
利用指數函數特解導出特徵方程
其中
解出
以下條件滿足時，λ² 為負實數，特徵根λ 為純虛數：
此條件為系統平衡穩定的充分必要條件。將船體改稱為載體，以下3種情況：
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