CICC科普欄目|〖數學算法〗開平方的七種算法

2021-01-18 中國指揮與控制學會


sqrt()函數，是絕大部分語言支持的常用函數，它實現的是開方運算；開方運算最早是在我國魏晉時數學家劉徽所著的《九章算術》被提及。今天寫了幾個函數加上國外大神的幾個神級程序帶大家領略sqrt的神奇之處。

1、古人算法（暴力法）

原理：從0開始0.00001,000002...一個一個試，直到找到x的平方根，代碼如下：

public class APIsqrt {

    static double baoliSqrt(double x) {

        final double _JINGDU = 1e-6;
        double i;
        for (i = 0; Math.abs(x - i * i) > _JINGDU; i += _JINGDU)
            ;
        return i;
    }

    public static void main(String[] args) {
        double x = 3;
        double root = baoliSqrt(x);
        System.out.println(root);
    }

測試結果：

1、7320509999476947

2、牛頓迭代法

計算機科班出身的童鞋可能首先會想到的是《數值分析》中的牛頓迭代法求平方根。原理是：隨意選一個數比如說8，要求根號3，我們可以這麼算：

(8 + 3/8) = 4.1875

(4.1875 + 3/4.1875) = 2.4519

(2.4519 + 3/2.4519) = 1.837

(1.837 + 3/1.837) = 1.735

做了4步基本算出了近似值了，這種迭代的方式就是傳說中的牛頓迭代法了，代碼如下：

public class APIsqrt {

    static double newtonSqrt(double x) {

        if (x < 0) {
            System.out.println("負數沒事開什麼方");
            return -1;
        }
        if (x == 0)
            return 0;

        double _avg = x;
        double last_avg = Double.MAX_VALUE;
        final double _JINGDU = 1e-6;

        while (Math.abs(_avg - last_avg) > _JINGDU) {
            last_avg = _avg;
            _avg = (_avg + x / _avg) / 2;
        }
        return _avg;
    }

    public static void main(String[] args) {
        double x = 3;
        double root = newtonSqrt(x);
        System.out.println(root);
    }
}

測試結果：

17320508075688772

3、暴力-牛頓綜合法

原理：還是以根號3為例，先用暴力法講根號3逼近到1.7，然後再利用上述的牛頓迭代法。雖然沒有用牛頓迭代好，但是也為我們提供一種思路。代碼如下：

public class APIsqrt {

    static double baoliAndNewTonSqrt(double x) {

        if (x < 0) {
            System.out.println("負數沒事開什麼方");
            return -1;
        }
        if (x == 0)
            return 0;

        double i = 0;
        double _avg;
        double last_avg = Double.MAX_VALUE;
        for (i = 0; i*i < x; i += 0.1);
        _avg = i;

        final double _JINGDU = 1e-6;

        while (Math.abs(_avg - last_avg) > _JINGDU) {
            last_avg = _avg;
            _avg = (_avg + x / _avg) / 2;
        }
        return _avg;
    }

    public static void main(String[] args) {
        double x = 3;
        double root = baoliAndNewTonSqrt(x);
        System.out.println(root);
    }
}

測試結果：

1、7320508075689423

4、二分開方法

原理：還是以3舉例：

(0+3)/2 = 1.5, 1.5^2 = 2.25, 2.25 < 3;

(1.5+3)/2 = 2.25, 2.25^2 = 5.0625, 5.0625 > 3;

(1.5+2.25)/2 = 1.875, 1.875^2 = 3.515625; 3.515625>3;

直到前後兩次平均值只差小於自定義精度為止，代碼如下：

public class APIsqrt {

    static double erfenSqrt(double x) {

        if (x < 0) {
            System.out.println("負數沒事開什麼方");
            return -1;
        }
        if (x == 0)
            return 0;

        final double _JINGDU = 1e-6;
        double _low = 0;
        double _high = x;
        double _mid = Double.MAX_VALUE;
        double last_mid = Double.MIN_VALUE;

        while (Math.abs(_mid - last_mid) > _JINGDU) {

            last_mid = _mid;
            _mid = (_low + _high) / 2;
            if (_mid * _mid > x)
                _high = _mid;
            if (_mid * _mid < x)
                _low = _mid;

        }
        return _mid;

    }

    public static void main(String[] args) {
        double x = 3;
        double root = erfenSqrt(x);
        System.out.println(root);
    }
}

測試結果：

1、732051134109497

5、計算 (int)(sqrt(x))算法

PS:此算法非博主所寫

原理：空間換時間，細節請大家自行探究，代碼如下：

public class APIsqrt2 {
    final static int[] table = { 0, 16, 22, 27, 32, 35, 39, 42, 45, 48, 50, 53,
            55, 57, 59, 61, 64, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 76, 78, 80, 81, 83, 84,
            86, 87, 89, 90, 91, 93, 94, 96, 97, 98, 99, 101, 102, 103, 104,
            106, 107, 108, 109, 110, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119,
            120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 128, 129, 130, 131, 132,
            133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 144,
            145, 146, 147, 148, 149, 150, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 155,
            156, 157, 158, 159, 160, 160, 161, 162, 163, 163, 164, 165, 166,
            167, 167, 168, 169, 170, 170, 171, 172, 173, 173, 174, 175, 176,
            176, 177, 178, 178, 179, 180, 181, 181, 182, 183, 183, 184, 185,
            185, 186, 187, 187, 188, 189, 189, 190, 191, 192, 192, 193, 193,
            194, 195, 195, 196, 197, 197, 198, 199, 199, 200, 201, 201, 202,
            203, 203, 204, 204, 205, 206, 206, 207, 208, 208, 209, 209, 210,
            211, 211, 212, 212, 213, 214, 214, 215, 215, 216, 217, 217, 218,
            218, 219, 219, 220, 221, 221, 222, 222, 223, 224, 224, 225, 225,
            226, 226, 227, 227, 228, 229, 229, 230, 230, 231, 231, 232, 232,
            233, 234, 234, 235, 235, 236, 236, 237, 237, 238, 238, 239, 240,
            240, 241, 241, 242, 242, 243, 243, 244, 244, 245, 245, 246, 246,
            247, 247, 248, 248, 249, 249, 250, 250, 251, 251, 252, 252, 253,
            253, 254, 254, 255 };

    /**
     * A faster replacement for (int)(java.lang.Math.sqrt(x)). Completely
     * accurate for x < 2147483648 (i.e. 2^31)...
     */
    static int sqrt(int x) {
        int xn;

        if (x >= 0x10000) {
            if (x >= 0x1000000) {
                if (x >= 0x10000000) {
                    if (x >= 0x40000000) {
                        xn = table[x >> 24] << 8;
                    } else {
                        xn = table[x >> 22] << 7;
                    }
                } else {
                    if (x >= 0x4000000) {
                        xn = table[x >> 20] << 6;
                    } else {
                        xn = table[x >> 18] << 5;
                    }
                }

                xn = (xn + 1 + (x / xn)) >> 1;
                xn = (xn + 1 + (x / xn)) >> 1;
                return ((xn * xn) > x) ? --xn : xn;
            } else {
                if (x >= 0x100000) {
                    if (x >= 0x400000) {
                        xn = table[x >> 16] << 4;
                    } else {
                        xn = table[x >> 14] << 3;
                    }
                } else {
                    if (x >= 0x40000) {
                        xn = table[x >> 12] << 2;
                    } else {
                        xn = table[x >> 10] << 1;
                    }
                }

                xn = (xn + 1 + (x / xn)) >> 1;

                return ((xn * xn) > x) ? --xn : xn;
            }
        } else {
            if (x >= 0x100) {
                if (x >= 0x1000) {
                    if (x >= 0x4000) {
                        xn = (table[x >> 8]) + 1;
                    } else {
                        xn = (table[x >> 6] >> 1) + 1;
                    }
                } else {
                    if (x >= 0x400) {
                        xn = (table[x >> 4] >> 2) + 1;
                    } else {
                        xn = (table[x >> 2] >> 3) + 1;
                    }
                }

                return ((xn * xn) > x) ? --xn : xn;
            } else {
                if (x >= 0) {
                    return table[x] >> 4;
                }
            }
        }

        return -1;
    }
    public static void main(String[] args){
        System.out.println(sqrt(65));

    }
}

測試結果：8

6、最快的sqrt算法

PS:此算法非博主所寫

這個算法很有名，大家可能也見過，作者是開發遊戲的，圖形算法中經常用到sqrt，作者才寫了一個神級算法，和他那神秘的0x5f3759df，代碼如下

#include <math.h>
float InvSqrt(float x){
 float xhalf = 0.5f*x;
 int i = *(int*)&x; // get bits for floating VALUE
 i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0
 x = *(float*)&i; // convert bits BACK to float
 x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
 return x;
}

int main(){
  printf("%lf",1/InvSqrt(3));

   return 0;
}

測試結果：

感興趣的朋友可以參考http://wenku.baidu.com/view/a0174fa20029bd64783e2cc0.html  是作者解釋這個算法的14頁論文《Fast Inverse Square Root》

7、一個與算法6相似的算法

PS:此算法非博主所寫

代碼如下：

#include <math.h>
float SquareRootFloat(float number) {
    long i;
    float x, y;
    const float f = 1.5F;

    x = number * 0.5F;
    y  = number;
    i  = * ( long * ) &y;
    i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 );
    y  = * ( float * ) &i;
    y  = y * ( f - ( x * y * y ) );
    y  = y * ( f - ( x * y * y ) );
    return number * y;
}

int main(){
  printf("%f",SquareRootFloat(3));

   return 0;
}

測試結果：

以上文章觀點僅代表文章作者，僅供參考，以拋磚引玉！


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