一個簡單易懂,卻可能沒有答案的數學問題

2020-12-08 騰訊網

著名數學家陶哲軒的伯樂保羅·埃爾德（Paul Erdös）曾說：「數學還沒有做好準備面對這樣的問題」。專門研究這個問題的數學家Jeffrey Lagarias說：」這是一個危險的問題。人們沉迷於這個問題，但解決它真的是不可能的任務。「

兩位數學家口中所說的問題，名為考拉茲猜想。

考拉茲猜想是數學中最引人注目的難題之一，它由德國數學家洛塔爾·考拉茲（Lothar Collatz）於1937年最早提出。與眾多晦澀難懂的數學猜想不同的是，它看起來非常簡單，任何已經學過加減乘除的小學生都可以對它進行推演。

考拉茲猜想說的是：無論選擇什么正整數作為開始，通過應用上述函數中的規則，最終都會得到1。

這個問題說起來很簡單，理解起來也很容易，從f(n)的表達式來看，它的運算規則一目了然：對於任何正整數，如果數字是偶數，則將其除以2；如果數字是奇數，則讓其乘以3，再加1，再除以2；一遍一遍地重複這個過程，直到得到1，然後開始陷入一個循環。

以數字13為例：13是奇數，所以對於f(13)來說，它需要乘以3得到39，加1得到40；這時，40是偶數，所以f(40)需要除以2，得到20；再用20來重複這個計算；20又是偶數，所以只需繼續除以2得到10；10還是偶數，除以2後得到5；5是奇數，乘以3、再加1再除以2，得到8；8為偶數，除以2等於4；4再除以2得到2；最後2除以2得到1。

當1開始出現時，事情開始變得有趣了。1是奇數，它需要乘以3再加上1，於是你又會重新得到4。接下來，故事的發展就是我們已經知道的那樣，4到2到1再到4——陷入一個循環。如果用箭頭來表示整個計算過程，以13為例，我們就會得到考拉茲序列：

任何正整數都會進入這個循環嗎？

這正是考拉茲猜想所預測的：無論你以任何正整數開始，最後都會以這個循環結束。不信的話你可以拿任何正整數來試試，看會不會都最終陷入這樣一個循環。

圖片來源：swimmingthestyx.com

其實，如果你想要找到一個反例，可能需要代入一個稍微大點的數字才可能有機會，因為目前在計算機的幫助下，數學家已經對每一個小於2⁶⁸的數字進行了驗證。儘管每個已被試過的正整數都會在這個循環中結束，但我們仍然不能確定考拉茲猜想是否總是正確，它至今仍只是個猜想，始終沒有人能為這個看似簡單易懂的猜想給出完整的證明。

圖片來源：wordpress.com

為什麼證明每一個數字都符合這個猜想會如此之難呢？

要證明這個猜想，一個重要的思路是，如果能夠證明當對任何正整數運用函數f的運算法則時，總會得到更小的數，那麼這將會是證明這一猜想的關鍵。這是什麼意思？我們可以以一個與函數f相似，但又稍微簡單一點的分段函數g為例。

繼續13為例，在函數g下，13的序列會是：

當g中出現1時，它的循環變成了

相比於f，13在函數g的運算規則下進入循環的速度更快。那麼，對所有的正整數來說，在函數g中迭代是否總能循環到1呢？答案是肯定的，這是可以被證明的。

在函數g中，如果n是正偶數，那麼g(n) = n/2，始終小於n本身。也就是說，當在函數g中迭代的數字為偶數時，下一個數字一定會更小；如果n是正奇數，那麼g(n) = n + 1，大於n，而n + 1是偶數，那麼接下來，下一個數字將變成(n + 1)/2，如此一來，對於一個奇數n來說，它在函數g下的迭代序列會是

而我們已知，當n > 1時，(n+1)/2 總是小於n的。這也就是說，在函數g下，當一個軌道中出現了大於1的奇數n時，就總能在兩步之後得到一個更小的數(n+1)/2。

如此一來，無論是n是奇數還是偶數，它在g函數中的迭代都會產生呈越來越小的趨勢發展的序列，唯一會打破這個規則的是在變小的過程中出現了1，當1一旦出現，便開始進入循環之中。

那麼，為什麼同樣的方法就無法被來證明考拉茲猜想呢？

如果n是偶數，那麼在函數f中，下一個數字n/2會變小。但當n為奇數時，會得到偶數3n+1，接著這個偶數再除以2，得到始終比n大的(3n+1)/2。這種情況在g的證明中是不存在的，對函數g來說，當一個奇數n出現時，兩步的迭代之後就能得到更小的數字；但對f來說，情況並非這樣。

為什麼會出現這一問題？其實，問題出在(3n+1)/2的數值上，它既有可能是奇數，也有可能是偶數。

如果(3n+1)/2是偶數，那麼下一個數字將是(3n+1)/4，序列會呈減小趨勢；但如果(3n+1)/2是奇數，那麼下一個數字將是3(3n+1)/2+1，序列會呈增加趨勢。因此，這一方法並不適用於證明考拉茲猜想。

不過，以上這種方法也並非對數學家完全沒有啟發。從概率來看，(3n+1)/2有一半的概率是偶數，也就是說在下一步能得出小於n的(3n+1)/4的概率為50%，這也就意味著一個奇數在兩步迭代後會變小的概率是50%。接著，(3n+1)/4又有50%的概率是偶數，也就是說，一個奇數在經過三步迭代後，變成一個小於自身的一半的數的概率是25%……

最終的結果是，平均來說，當函數f中出現一個奇數時，是會出現減小的趨勢的。再加上f函數在遇到偶數時總是會減小，因此從長遠來看，在函數f下的迭代所產生一定是趨於減小的序列。這種概率性的論證已被大多數數學家所接受，他們相信這一猜想是正確的，但仍然沒有人能發展出一個數學上的嚴格證明。

對於這個問題，數學家們已經達成普遍的共識，那就是這是個不可能的問題。然而，好在仍有一眾優秀的數學家願意為這個可能是徒勞的問題付出努力，使得在我們這一問題上也並非全無進展。2019年，數學家取得了」最接近考拉茲猜想「的結果，而做出了這一工作的，就是著名的數學家陶哲軒。

2019年9月，陶哲軒在博客上發表了一篇標題為《幾乎所有的考拉茲序列都得到了幾乎有界值》的文章，他用一種巧妙而隱晦的方式，讓考拉茲猜想幾乎得到了解決。「幾乎」的意思是，他證明了相對於已知能最終達到1的數字的數量來說，無法確定的數字數量可以忽略不計。

在1976年，數學家Riho Terras證明了在反覆應用考拉茲函數之後，幾乎所有的數字最終都比它們最開始時要小，他證明幾乎任何正整數n的考拉茲序列，最終都小於n。陶哲軒的工作對這一結果進行了進一步的限制，他證明了幾乎任何正整數n的考拉茲序列，最終都比n/2、√n、ln(n)更小。這也就是說，對於幾乎任何正整數，都可以確定它的考拉茲序列會儘可能的向更小的方向發展。

雖然我們幾乎可以肯定，陶哲軒的方法無法完全證明考拉茲猜想，但這絕對是在沒有完全解決這個猜想的情況下，所能得到的最好結果，他取得了近幾十年來在這個問題上的最大進步。與此同時，這也是對想要繼續挑戰這個問題的數學家的一個警鐘：這個看似簡單的問題，真的太難了！

附加題

如何證明存在無窮多個可最終得到1的考拉茲序列？

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參考來源：

https://www.quantamagazine.org/why-mathematicians-still-cant-solve-the-collatz-conjecture-20200922/

https://plus.maths.org/content/os/latestnews/may-aug10/hailstones/index

https://terrytao.wordpress.com/

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