用FPGA實現FFT算法(圖)

2021-01-11 電子產品世界

引言
　　dft(discrete fourier transformation)是數位訊號分析與處理如圖形、語音及圖像等領域的重要變換工具，直
接計算dft的計算量與變換區間長度n的平方成正比。當n較大時，因計算量太大，直接用dft算法進行譜分析和信號的實時處理是不切實際的。快速傅立葉變換(fast fourier transformation，簡稱fft)使dft運算效率提高1～2個數量級。其原因是當n較大時，對dft進行了基4和基2分解運算。fft算法除了必需的數據存儲器ram和旋轉因子rom外，仍需較複雜的運算和控制電路單元，即使現在,實現長點數的fft仍然是很困難。本文提出的fft實現算法是基於fpga之上的，算法完成對一個序列的fft計算，完全由脈衝觸發，外部只輸入一脈衝頭和輸入數據，便可以得到該脈衝頭作為起始標誌的n點fft輸出結果。由於使用了雙ram，該算法是流型(pipelined)的，可以連續計算n點複數輸入fft，即輸入可以是分段n點連續複數數據流。採用dif(decimation in frequency)-fft和dit(decimation in time)-fft對於算法本身來說是無關緊要的，因為兩種情況下只是存儲器的讀寫地址有所變動而已，不影響算法的結構和流程，也不會對算法複雜度有何影響。算法實現的可以是基2/4混合基fft，也可以是純基4fft和純基2fft運算。

傅立葉變換和逆變換
對於變換長度為n的序列x(n)其傅立葉變換可以表示如下：
　　　　 　

n

nk

x(k)=dft[x(n)]= σ x(n)w n=0

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　式（１）

其中，w=exp(-2π/n)。

當點數n較大時，必須對式(1)進行基4/基2分解，以短點數實現長點數的變換。而idft的實現在dft的基礎上就顯得較為簡單了： 　　　　　　　　

　　　　　式（２）

由式(2)可以看出，在fft運算模塊的基礎上，只需將輸入序列進行取共軛後再進行fft運算，輸出結果再取一次共軛便實現了對輸入序列的idft運算，因子1/n對於不同的數據表示格式具體實現時的處理方式是不一樣的。idft在fft的基礎上輸入和輸出均有一次共軛操作，但它們共用一個內核，仍然是十分方便的。


基4和基2
基4和基2運算流圖及信號之間的運算關係如圖1所示：

 　　　　
　　　（a）基４蝶形算法 　　　　　　

　　　　　　　　　　（b）基２蝶形算法
以基4為例，令a=r0+j


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