讀者問:所有>=5素數是否能用6n + 5或者6n + 7表達

2021-01-15 數論很難

有讀者提了一個問題，所有>=5素數是否能用6n + 5或者6n + 7表達？這種論述是對。

為什麼這麼說呢？證明如下——

取非負整數n，所有整數數都可以用集A = {6n, 6n+1, 6n + 2, 6n + 3, 6n + 4, 6n +5}的某個元素表達。且6n + 7 與 6n + 1為等價類，所有6n + 7 可以用 6n + 1等價表示。比如 7=6*0 +7 = 6*1 + 1。A的元素只有6n + 5, 6n + 1可以用來表示>=5素數，因為別無選擇，讀者的論述有道理。

數論

數論裡有6素數的說法，有很多對素數可以用(p, p + 6)表達。

有眼尖的讀者可能看到了(6n + 7) - (6n + 5) = 2 ， 聯想到了孿生素數猜想。這兩個表達式是不是證明了孿生素數猜想呢？

沒有證明孿生素數猜想。一個素數能用兩者之一表述，不能肯定另外一個也必然為素數，更不能肯定這種素數對為無窮多。

這兩個表達式還有其他等價的說法，比如任何素數都可以用2n + 1或者 3n + 1, 3n + 2表達。

讀者如果有興趣，可以用3n + 1, 3n + 2來驗證一下張益唐與陶哲軒他們取得的孿生素數距離的最佳結果：246，或許能看出什麼。

張益唐

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