變徑圓弧螺旋線

　　變徑圓弧螺旋線

　　（關鍵詞：圓弧、螺旋線、等差、等倍、變徑圓弧螺旋線畫法、阿基米德螺線、凸輪）

　　前 言

　　變徑圓弧螺旋線是以不同半徑的圓弧連接而成的螺旋線。由於這種螺旋線由圓弧構成，因此以圓規及直尺即可非常簡單地繪出。它能繪製等差變徑與螺旋線、等比變徑圓弧螺旋線（對數螺線），甚至能繪製等差+等比的混合變徑圓弧螺旋線、以橢圓為基礎的類橢圓變徑圓弧螺旋線。變徑圓弧螺旋線可以說是一種新概念螺線。變徑圓弧螺旋線具有便於繪製、計算簡單，容易理解掌握、普及面廣的特點。它與多種螺旋線存在著密不可分的聯繫，有較寬裕的研究空間。

　　科學是大眾的科學，無窮的智慧寓於大眾。為了讓更多對螺旋線感興趣的人士共同進行這項研究，特此公開以下粗淺的研究，希望能起到拋磚引玉的作用。

　　變徑圓弧螺旋線

　　一 變理徑圓弧螺旋線形成原理：圓心偏移的圓弧就是螺旋線。

　　依據以往的概念，我們很難將圓弧及螺旋線等同起來。通常認為圓弧是圓的一部分，圓弧上的任意點至圓心的距離均相等；而螺旋線上的任意點至極心的距離是逐漸變化、均不相等的。圓弧與螺旋曲線之間存在著本質的區別，是兩種不同的概念。但是，圓心偏移了的圓弧的確就是螺旋線。（見下圖）：下圖中，左右兩個圖形分明是兩個相等的半圓弧，但由於原點所處位置的不同，則性質發生了變化。右邊圓弧變成了螺線曲線。

圓弧 螺旋線

　　變徑圓弧螺旋線就是利用圓心偏移的圓弧就是螺旋線的原理，不斷改變圓弧的圓心位置及圓弧半徑，使螺旋線得以持續擴展、無限迴旋，達到我們所需要的圈數。

　　二 變徑圓弧螺旋線的有關概念：

　　1 變徑弧段及弧角：指一周（360度）由幾段圓弧構成以及圓弧的角度。如 ：

　　2-180度、3-120度、4-90度、6-60度、8-45度……

　　2 變徑原則：

　　改變圓弧半徑時，必須遵循在原有半徑上做增減的原則。也就是說，前段圓弧半徑及後段圓弧半徑在同一直線上，才能達到不同半徑圓弧的圓滑連接。

　　3 螺距、變徑係數：

　　螺距：360度時，螺旋線的間距，是螺旋線的基本參數，用S表示。螺距等於360度等時，圓弧變徑值之和。

　　變徑係數：指單位弧角內圓弧半徑的增減值（或倍率）用a表示。a=S/360度 或a=S/2π（弧度制）

　　螺旋線上任意點至原點的距離L=αa 該公式與阿基米德螺線公式ρ=θa 完全相同！

　　左圖：就是利用圓心不斷偏移，圓弧半徑等差值不斷增加所形成的「上部三個同心半圓弧，下部兩個同心半圓弧」。五個不同半徑的半圓弧，經圓滑連接形成了等差變徑圓弧螺旋線。它的弧段、弧角為2-180度，即360度內由兩段弧角為180度的半圓弧構成；它的兩個圓心在一直線上，兩圓心的間距為1／2螺距。

　　通過右側等差變徑圓弧螺旋線圖形，我們可明顯看出：它的曲線長度為五段不同半徑的半圓弧周長的和，曲線圍截面積為外圍兩半圓弧面積的和，等差變徑圓弧螺旋線的曲線長度及曲線面積的計算十分簡單、明了。而阿基米德螺線的曲線長度及面積計算需要微積分，非常複雜。

　　等差變徑圓弧螺旋線畫法、步驟

　　以左下圖為例：步驟1先設定螺距。如設螺距S=24mm ，

　　步驟2 設定弧段及弧角為3-120度

　　步驟3 計算圓弧變徑值：因為螺距等於360等時圓弧變徑值之和，所以半徑變徑值為24/3=8mm

　　繪圖（以直尺、圓規）

　　1 以變徑值8mm為半徑畫一弧角為120度的圓弧 ；

3-120度等差變徑圓弧螺旋線

　　2 延長第一半徑至8+8=16mm (2-變徑值)，以16mm為半徑畫第二個弧角為120度的圓弧；

　　3 延長第二半徑至24mm（3-變徑值），以24mm為半徑畫第三個弧角為120度的圓弧，完成一周螺旋線。

　　4 以1、2、3弧段圓心依次將螺旋線展開，使其達到所需的圈數

　　以下是我繪製的幾個不同構造的變徑圓弧螺旋線

　　下圖：弧段弧角為 4-60度+120度+60度+120度構造螺線

變徑圓弧螺旋線

兩條變徑圓弧螺旋線

　　右圖為畫在一起的兩條弧段弧角為4-90度構造螺旋線。紅色的一條，圓弧圓心連線為正方形，屬等差變徑圓弧螺旋線；黑色的一條，圓弧圓心連線為矩形屬非等差變徑圓弧螺旋線。兩條螺旋線有區別：等差螺旋線變徑係數只有一個；非等差螺旋線的變徑係數則不只一個，在不同弧段內變徑值不同。但不論等差變徑圓弧螺旋線或非等差變徑圓弧螺旋線，只要360度時它們變徑值之和相等，則螺距就相等，均都屬於等距螺旋線。

4-90度變徑圓弧螺旋線

　　上圖 弧段弧角為 6-60度等差變徑圓弧螺旋線 上圖 弧段弧角為8-45度等差變徑圓弧螺旋線

　　為了直觀地反映螺距S與弧段、弧角、變徑值之間的相互關係。我分別繪出2-180度、3-120度 4-90度、6-60度、8-45度等不同弧段、弧角、變徑值的等差變徑圓弧螺旋線。通過以上圖例，我們可以觀察出：當弧段數增多時，弧角及變徑值相應減小。

　　假設我們繼續將等差變徑圓弧螺旋線的弧段數增加至1296000個，弧角減小至1秒。此時變徑係數為很小的值。如螺距S=30mm 則變徑係數 a=30/1296000=0.000023（mm/秒）。以0.000023mm為半徑在一秒的弧角內畫的圓弧（如果能畫出）將趨向一個點；由1296000個近似點的圓弧連接而成的螺旋線就是阿基米德螺線。可以說阿基米德螺線是等差變徑圓弧螺旋線弧段為無限多時的表現形式。它的變徑係數a=S/360度。（因1296000秒等於360度) 公式ρ=θa 與等差變徑圓弧螺旋線公式完全相同。然而阿基米德螺線的曲線長度及面積的計算，就不像等差變徑圓弧螺旋線那樣簡單了。由於阿基米德螺線曲線長度及面積是由無數多個點及無數多個小圓弧面積集合而成的，所以，用普通算術已無法計算，只能求助於微積分，計算變的複雜了。

　　等倍（比）變徑圓弧螺旋線的畫法及步驟

　　等倍（比）變徑圓弧螺旋線就是對數螺線。對數螺線的螺距是以幾何級數增減的。對數螺線的畫法通常是先設定一半徑，然後 等倍率遞減半徑由外向中心畫去。當然也可以先設定一個半徑，然後等倍率遞增半徑向外畫。

　　等倍（比）變徑圓弧的畫法及步驟與等差變徑圓弧螺旋線基本相同。

變徑圓弧螺旋線

　　以上圖 弧段弧角為2-180度、變徑比為0.5的等比變徑圓弧螺旋線為例：先以設定的半徑在第一弧段內畫一個弧角180度的半圓弧；然後將半徑值乘以0.5，以0.5半徑值在第二弧段內畫弧角180度的半圓弧；再將第二半徑乘以0.5，以此半徑在第一弧段內畫第三半圓弧；以此不斷畫出至所需圈數。

　　以下我畫了幾個不同弧段弧角的等比變徑圓弧螺旋線，供參考、研究。

上圖弧段弧角為 3-120度 變徑比0.7 上圖弧段弧角為4-90度 變徑比0.618

上圖 弧段弧角為6-60度 變徑比0.6

　　其他螺旋線的畫法

　　用變徑圓弧螺旋線的畫法，可以畫出各種各樣的螺旋曲線。以下我隨意畫了等比與等差混合變徑圓弧螺旋線及由橢圓圖形展開的類橢圓螺旋線。

　　右上圖 為等差、等比混合變徑圓弧螺旋線。我先以等比變徑圓弧畫出中間的等比變徑圓弧螺旋線，再在其末端按等差變徑圓弧畫出等差變徑圓弧螺旋線，使兩條螺旋線合成一體。

　　左上圖 筆者命名為「類橢圓變徑圓弧螺旋線」。我先用變徑圓弧畫法畫出一個橢圓，然後展開一端，再以畫橢圓順序連接不同半徑的圓弧，形成以橢圓為基礎的「類橢圓變徑圓弧螺旋線」。

　　通過對以上各種各樣螺旋曲線的繪製，個人認為只要掌握了變徑圓弧螺旋線的畫法技巧，幾乎可以繪製所有類型的曲線。

　　後記

　　變徑圓弧螺旋線系新概念螺旋線，目前除了本文應用它繪製各種各樣螺旋曲線外，尚無其它應用例。可預見：它在機械製圖、凸輪設計、幾何學、數學、流體力學等領域將得到重視和廣泛普及、應用。

　　筆者因知識老化，不會運用電腦繪圖，文中的圖形只能先畫在紙上進行拍照，再複製到文檔中。電腦也是摸索著學會一點，極不熟練，效率低下。以上粗淺研究均系獨自苦思，無人商討，文中難免存在很多謬誤。歡迎指正。

　　我更加希望能得到思維敏捷年輕人的關注、青睞，希望年輕人能參與此項研究，使研究更加深入、正確。

　　李連生 2010-7-24 於四川 綿陽