最速降線——圓弧

2021-01-15 笑看數學


在最速降線——直線裡面,

我們介紹了最速降線問題並且對最簡單的直線情形做了推導,

這裡本文繼續展開"最速降線"問題的第二步——圓弧,

而且為了簡化問題,

選擇了最簡單的圓弧——1/4圓弧

如圖所示




下面來推導一下耗時:

這一步還是挺通用的,

還沒使用到曲線是圓弧這一條件,

至於圓弧嘛,

還是用極坐標表示方便,

下面就使用極坐標來把x,y這些替換掉,

積分變換如下:

這樣就導出了一個結果,

結果裡面帶了一個積分,

不過不要試圖去解出來,

因為這是解不出來的,

涉及到了橢圓積分啥的,

是沒法求的,

不過即使沒有解析值,

看一下數值大致大小還是可以的:


這樣就能夠拿來和直線情形做對比了,

根據最速降線——直線中的結論,

對裡面h,k都取值為r,

直線和圓弧的就可以對比了:



所以可以得出結論,

圓弧情形耗時比直線短,

但是是不是意味著圓弧就是"最速降線"呢?

一開始據說伽利略也是猜想圓弧就是最優解,

然而這個結果是不對的,

正所謂一山還比一山高,

其實還是有耗時更短的曲線的,

那具體是啥呢?

且看下文分解......


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