摘要：
變分法是求解泛函極值問題的方法。本文簡述了變分法的概念和歐拉-拉格朗日方程的導出，然後用變分法求解了最速降線和球面上的測地線兩個具體問題，為這兩個經典例題留下了一份參考筆記。所用到的數學知識為大一微積分。
一、引言
為什麼突然又開始寫變分法了呢？
沒錯，因為作業正好做到這裡。。。
二、變分法與歐拉-拉格朗日方程
求滿足某種性質的未知函數，是數理學科中經常出現的一類問題。比如，在牛頓運動定律的條件下，求質點的位置隨時間變化的函數 x(t)；在長度最短的條件下，求曲面上連接兩點的曲線方程 y(x)，等等。
偉大的先驅牛頓率先開闢了一條解決這類問題的途徑——微分方程，即把函數滿足的性質表達為函數和其導數的一個方程。例如牛頓定律下的質點運動方程：
曲面上長度最短的曲線滿足的測地線方程：
微分方程給出了函數的局域限定條件，除了直接積分求解未知函數外，還可以通過迭代的方法進行數值求解。這種方法直到今天還是我們經常採用的最主要方法之一。
另一條重要的解決途徑是約翰·伯努利和歐拉等人發展而成的——變分法，即把函數滿足的性質表達為函數的一個泛函極值問題。例如測地線滿足的條件是長度最短：
而牛頓運動定律可以表達為動能與勢能的差對時間積分取極值：
泛函極值方法給出了函數的全局限定條件，通過將未知函數參數化，可以用數值方法確定函數的近似表達式，因此這種方法也具有很重要的實際應用價值。
泛函極值問題與微分方程問題可以互相轉化。例如，考慮一個包含函數 y(x) 和它的一階導數 y'(x) 的泛函：
將其對 y(x) 的變分按照求導的鏈式法則展開，得到
再使用一下分部積分的 trick，得到
由於端點處的變分等於 0，最右邊第一項可以消去：
由於 delta y 為任意函數，因而括號中的係數處處為0，即：
這便是變分法中的歐拉-拉格朗日方程。對於符合 L(y, y', x) 形式的泛函，都可以直接套用這一方程，將問題轉化為微分方程求解。
三、最速降線
我們利用變分法求解這樣一個問題：重力場中連接兩點 (x1, y1) 和 (x2, y2) 有一條曲線導軌，質點沿曲線導軌從上端滑落至下端，怎樣的曲線形狀使下落所需時間最短？
首先寫出所求的泛函。根據曲線元的長度 ds 以及速度 v 可將時間元 dt 寫出：
因而下落所用的時間為：
簡寫為：
所求的函數 y(x) 即是使這一泛函取極值的函數。記
由於 f 中不顯含自變量 x，可以直接運用「能量」初積分：
進而得到
直接積分可得
通過換元
可得
化簡得到
這便是最速降線的方程。實際上，這也是擺線的方程，利用參數 u 可以寫為：
四、球面上的測地線
我們再看一個簡單一些的例子：球面上的最短曲線，即測地線是什麼樣子？根據常識我們知道，球面上的最短路線是大圓（即以球心為圓心，以球面半徑為半徑的圓弧）。下面我們用變分法求解一下它的測地線方程。
採用球坐標系，並設半徑為1，則球面上的度規為：
球面上的曲線長度可以表示為：
代入歐拉-拉格朗日方程得到：
直接對 theta 積分得：
化簡得：
直接積分可得：
這個積分好像挺不好算的，我自己反正是半天沒做出來，於是只好看了一下答案：
（誰能想到這個換元請務必向我解釋一下為什麼要這麼換）
順著這個思路繼續算下去：
可以得到
其中
於是我們得到了球面上的測地線方程：
為了驗證它是球面上的大圓，我們直接求出大圓的方程，即：過球心的某個平面與球面的交線。設空間直角坐標系中該平面的法向量為 (nx, ny, nz)，而球面上的點的坐標為
於是得到平面方程
化簡得：
和我們用變分法求出的方程形式相同。
五、總結
實際算起來還挺噁心的。。。。
空弦
2017年2月
於紐約家中
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