從點A到點B，我們當然可以得到一條最短路徑，那就是直線段。
但是，A點有一個小球，它要最快到達另一個點B，應該走什麼樣的曲線？如圖
可以直覺感知，最短的是直線，最快的卻不是直線段，因為在直線段下面的兩條曲線，我隨手畫的，都應該會比直線段快。因為它們都讓小球比較快地獲得了高速，即使後期稍微慢點，路程長點，也是會比直線段快的。
這是個著名的問題，來自於一個著名的數學家族——伯努利家——的一個不那麼牛逼的小傢伙。他試圖去挑戰當時世界上最牛逼的數學家，我非常贊成他這個做法！看熱鬧不嫌事兒大嘛。
結果被吊打。
他花了一個星期才解決的問題，牛頓爵士花了一個通宵搞定了，而且當時牛爵士已經很老了，時任英國財政大臣。其他幾個收到挑戰信的數學家，萊布尼茲、洛必達、還有他哥哥伯努利，也都順利完成挑戰。
基本上解法都比這位伯努利小弟的數學味道更濃，他哥哥伯努利大哥甚至還藉此開闢了一個新的學科方向——變分分析。
當然，就題論題，小弟伯努利的解法最容易理解，起碼，數學佬能看懂。變分法，算了，我壓根沒打算讓它出現在我的公眾號裡。
言歸正傳，伯努利小弟是怎麼解決最快曲線問題的呢。
物理學已經發現了，光會自動按照最快的路徑前進，例如光照到水面上會發生折射，但不是亂折，而是會按照最快的路徑折射。算成數學公式就是
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從這個簡單的原理出發，伯努利小弟將從A到B的空間分層。
這就是伯努利小弟最關鍵的步驟！
而滿足這個性質的曲線就是擺線。
回憶一下擺線的切線。
我們已經得到的結論是：底圓直徑上兩點A，B，與擺線上點P連接，一條是切線一條是法線。
也就是PA⊥PB，如圖三個角相等，都是θ則
所以，最速降線就是一條擺線。不過我們要將y軸朝下哈。
這就是伯努利小弟的解法，精妙固然精妙了，但真的數學感不強，好像是道物理題。但那又有什麼關係呢？關鍵是這個解法我能看懂，你也能看懂。難點不在數學，在那個光學性質。
關於擺線的科普，最速降線是擺線最奇特的性質。
我們看到的大宅門，他們屋頂的設計並不是直線，而是一根擺線。因為擺線能將雨水最快排到地面，也就最大程度減少屋頂積水，也就最大程度延長屋頂的壽命。中國智慧的工匠，或許說不出什麼數學原理，卻能自覺按照數學的要求去施工，奇妙不奇妙。
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