上篇文章裡，我們講解了一些特殊測量方法。本文我們來講一講體積的特殊測量方法。這裡所說的特殊方法主要是針對形狀不規則的物體的體積進行測量，所要用到的器材就是量筒和量杯。
我們先來回顧一下形狀規則的物體體積怎麼計算，我們在小學和初中階段學習的規則物體無非是正方體、長方體、圓柱體、圓錐體這四個，它們的體積也都是通過數學公式進行計算。
為什麼還要在這裡花費篇幅來講解公式，就是想從另外一個角度來闡述一下公式的由來。其實就是向大家滲透積分的思想，積分思想說簡單點無非就是累加量、疊加量的思想。
無論是積分還是微分，都是有方向性的，微分是表示某一方向上的變化率的，而積分則是表示某一方向上的累加量。
數學上說，點動成線、線動成面，面動成體。平移：就是量的累加結果，等於本身×平移距離。點動成線，其實長度就是點的累加量，點無大小，所以長度就是平移的距離；線動成面，面積就是線的累加量，所以面積就是線（本身）×平移距離，也即是長×寬；面動成體，也就是說，面的累加就形成了正方體、長方體、圓柱體、圓錐體等。
正方體
正方體是特殊的長方體，正方體的體積為稜長（a）乘稜長（a）乘稜長（a），也就是稜長（a）的立方。這裡給大家解釋一些，邊長一般用作立體圖形，稜長一般用作平面圖形。
面動成體，體積就是面的累加量，所以正方體可以看成是一個「正方形」在豎直方向（Z軸）上累加了一個高度，正方體可以看成是無數個正方形紙片在豎直方向上疊起來而形成的，所以正方體的體積為「底面積×高」，即稜長的立方。
長方體
長方體的體積為長（a）乘寬（b）乘高（h），公式為：
同理，長方體也可以看成是底面一個「長方形」在豎直方向（Z軸）上累加了一個高度，長方體可以看成無數個長方形紙片在豎直方向上疊起來而形成的，所以長方體的體積也是「底面積×高」，即長×寬×高。
圓柱體
圓柱體的體積為底面積（S）乘以高（h），因為圓柱體的上下面為圓形，圓的半徑為R，則體積公式為：
這個公式的由來還是非常有意思的，利用的思想依然是數學中的微分思想，然後進行積分，就可把圓柱體，當成正方體的體積進行計算啦。
這是分割思想，即微分思想，從積分思想出發也一樣。圓柱體可以看成一個「圓」形紙片在Z軸上疊起來而形成的，因此圓柱體的體積即為「底面積×高」，即πRh。
從專業的角度，圓柱體體積的公式怎麼得到的呢？，其實就是積分運算：（看不懂的，這一段自動忽略哈，ー(￣～￣)ξ）
圓錐體
圓錐體的體積為三分之一底面積乘以高，體積公式為：
這個公式怎麼得到的呢？小學中給出了一種特別好的思維方式，分別做出一個底面積相同、高相同的圓柱形容器和圓錐形容器，在圓錐形容器中裝滿水，再倒入圓柱形容器中，發現剛好需要三次能把圓柱形容器給加滿。因此，對於等底面積、等高的圓柱體和圓錐體，圓柱體的體積是圓錐體體積的3倍。
從數學積分的角度，圓錐體也是「圓」在豎直方向（Z軸）上的疊加，只不過區別於圓柱體的是，圓錐體中「圓」的累加，是大小不同的圓，越向Z軸正方向，圓的半徑越小。
如下圖所示，圓錐體的正視圖是三角形，半徑實際上就是這個三角形的底的一半，我們把這個三角形沿Z軸分開，分成了兩個直角三角形，直角三角形的斜邊與Z軸的夾角設為θ，則tanθ=R/h，即R=h×tanθ。
此時，仍然利用數學積分知識，可以計算出圓錐體的體積公式為：
從物理思維的角度來分析這個問題，則可以把圓錐體看成用直角三角形旋轉形成的旋轉體，則體積等於直角三角形重心走過的距離乘以直角三角形的面積。如下圖，以R和h所在直線為x、y軸建立直角坐標系，則重心的坐標點為（R/3，h/3）。
重心所走距離是半徑為R/3的圓的周長，即為s=C=2π×（R/3），在乘以直角三角形的面積（hr/2）即為圓錐體的體積。
以上就是我們對於一些規則物體體積的計算公式介紹，那麼對於一些形狀不規則的物體，我們該怎麼樣知道它們的體積大小呢？這就需要我們藉助器材來進行測量啦。下面我們就來詳細介紹一下測量體積的工具——量筒和量杯。
雖然量筒和量杯都是測量體積的工具，但是從實物上我們就非常容易看出兩者的區別。從形狀上來看：量筒是粗細均勻，而量杯是上粗下細；從刻度上來看：量筒的刻度均勻，量杯的刻度上密下疏。從用途上來看：量杯適合粗略測量體積大的物體，量筒適合測量體積小的物體。
為什麼量筒和量杯的刻度線不同呢？我們先從它們測量體積的原理說起。其實這裡面利用了等效替代法，固體（不吸水）沉入液體中會排出與固體體積相同的液體。因此將固體放入盛有適量水的量筒（量杯）中，固體自身體積會佔據原來量筒（量杯）中水的體積，那麼這部分水自然會沿著內壁上升。造成水的體積增加的表面現象，其實增加的體積就是固體的體積。
正因為量筒的形狀粗細均勻，因此其刻度也是均勻的，相同的體積就會有相同的高度；而量杯的形狀是上粗下細，因此刻度也是上密下疏的，相同的體積，因為下面細因此升高的高度大，而上面粗因此升高的高度小。
如圖，同樣是V=10ml，根據公式V=Sh，則h=V/S，越往上，底面積越大，則同樣體積對應的高度就越來越小，因此就呈現為刻度線上密下疏了。也正是因為這個原因，用量杯測量體積較大的物體時，液面越往上升，液面的面積越大，讀數誤差也越大；而量筒無論測量物體的體積大小，讀數誤差基本是一樣的。因此，在物理中，我們重點學習的是量筒的使用。
一、測液體體積
這個沒有什麼難度，將待測液體沿內壁緩慢倒入量筒中，然後將量筒放在水平桌面上，進行讀數。
需要大家注意的是，量筒中液體的液面並不是水平的。液體可分為兩種，一種叫做浸潤液體，一種是不浸潤液體。
浸潤液體能跟容器壁很好地吸附，像水和酒精就是浸潤液體，因為吸附好，所以液體與容器接觸面總是比中間液面要高，我們看到的液面就是凹液面了。對於凹液面，讀數時，視線應與凹液面最低處齊平。
不浸潤液體，如水銀（汞液），基本不會吸附在容器壁，它在容器中存在形式取決於其受力，由於表面張力使得其中間高，周圍低，就是我們看到的凸液面。對於凸液面，在讀數時，視線應於凸液面最高處齊平。
讀數時，視線應也液面齊平，如果俯視讀數或者仰視讀數就會帶來讀數誤差。原理咱們講解一下，如下圖，很明顯可以看出，如果讀數時是仰視讀數，那麼讀取的體積與真實值相比偏小，如果讀數時是俯視讀數，那麼讀取的體積與真實值相比偏大。
二、測固體體積
1、下沉的固體
方法：排水法
步驟：
（1）現在量筒中倒入適量的水，讀出水的體積為V
（2）用細線拴好固體，慢慢浸沒在量筒裡的水中，讀出水和固體的總體積為V
（3）固體的體積為V=V－V
在這裡，適量的水的含義是指：以待測體積的物體放入量筒後能完全浸沒，且量筒中的水上升的高度不超過量筒的最大刻度值為準。一般是加到量筒量程的一半左右。
2、漂浮的固體
方法一：沉墜法
步驟：
（1）用細線拴好鐵塊（重物），放入盛有適量水的量筒中，記下讀數V
（2）再將被測固體和鐵塊（重物）拴在一起，放入量筒中，記下讀數V
（3）被測固體體積V=V－V
方法二：針壓法
步驟：
（1）在量筒內倒入適量的水，讀出水的體積V
（2）用一根細長針刺入被測固體，將被測固體壓入量筒裡的水中，讀出水和待測物體的總體積為V
（3）被測固體體積V=V－V
3、較大的固體
方法：排水法（溢水杯）
步驟：
（1）在溢水杯中裝滿水
（2）把固體浸沒在水中，同時，用另一容器（也可直接用量筒）承接溢出的水
（3）將溢出的水倒入量筒中讀數，記為V
（4）固體的體積即為V
4、溶於水的固體
用細沙代替水進行測量
總結
以上就是對規則物體體積的計算和不規則物體體積的測量方法，從本文可以看出，數學和物理的聯繫是非常普遍的，數學對物理的學習幫助也非常大，希望大家能夠重視數學在物理上的應用。最後希望本文能夠對大家有所幫助。