超流體是一些流體在沒有任何黏度的情況下流動的物質（具有恆定的動能）。超流體的例子包括氦-3和氦-4。在2.17 K以下的溫度下，氦-4變成超流體。氦-3隻在0.0025 K以下才變成超流體。此外，當超流體被攪拌時，它們會形成「無限旋轉」的漩渦。在這篇文章中出現的超流體相是玻色子，這與玻色凝聚有關，在玻色凝聚中有宏觀部分的原子處於最低能量狀態。由於他是費米子，而泡利原理禁止一個以上的費米子處於同一態，所以它產生超流體行為的機制是不同的。超流體通過費米子對的形成而產生，費米子對的行為類似於玻色子（庫珀對）。
圖1：黑點是漩渦的核心超流體也表現出所謂的噴泉效應，即含有超流體的受體會自動清空自身。圖2顯示了一種超流體作為薄膜爬上杯壁，然後在杯壁外下降，形成液滴。當液滴落入下面的液體中時，新的液滴會形成。這一過程一直持續到杯子變空為止。
超流體最早是由蘇聯著名物理學家、諾貝爾獎獲得者彼得·卡皮察和加拿大出生的物理學家約翰·艾倫發現的。超流體的數學理論是由著名的蘇聯物理學家和諾貝爾獎獲得者列夫·蘭道提出的。
圖2：在左邊，我們可以看到噴泉效應，超流體相中的液氦自發地慢慢清空杯子。它以一層薄膜的形式沿著碗壁往上爬，然後在碗外形成一滴，落入下面的液體中。這個過程一直持續到杯子為空。右邊是超流體數學理論的發展者列夫·蘭道。克萊因戈登場
在經典力學的拉格朗日公式中，一個質點被理想化為質量為m的點。現在，假設它在某時刻的位置由x(t)給出，質點在一個勢能為V(x)的場內運動。根據牛頓第二定律：
方程一：牛頓第二運動定律對應的拉格朗日函數L為：
方程2：在勢為V(x)的場內運動的粒子的拉格朗日函數表達。其中K和V分別是動能和勢能。我們可以設想點粒子從x(t)到場φ(x, y, z, t)的路徑是用φ代替x，用φ代替t，在這種情況下，拉格朗日密度的形式如下：
方程3：實標量場理論φ的拉格朗日密度。注意，φ是實數標量場，不是波函數。方程3是洛倫茲不變量（對於在慣性系中相對運動的觀察者，它的數學形式不會改變）。標量場φ符合所謂的克萊因-戈登方程：
式4：自由場φ的克萊因-戈登方程。
圖3：場φ在時空中移動復標量場
為了描述超流體的性質，我們需要在公式3中增加一層複雜性。復標量場的拉格朗日密度為：
式5：復標量場理論φ的拉格朗日密度這個拉格朗日量描述了相互作用的玻色子。我們對緩慢運動的玻色子的行為特別感興趣。為了簡單起見，讓我們先從自由標量場φ的運動方程:開始，找到這類玻色子的動力學。式4的解是具有下列時間依賴關係的模態：
式6：式4的解是該形式的模態由於我們對緩慢移動的玻色子的行為感興趣，我們將把公式6中的能量寫成如下形式：
式7：式 6中的能量我們可以將式 6給出的模態分解為兩個因子的乘積：
式8：由式6給出的模態，其中φ振蕩比指數因子慢得多（因為m>>ε）。使用近似：
式4寫成薛丁格方程：
方程9：薛丁格方程。非相對論形式的拉格朗日密度是通過插值方式得到：
經過一些簡單的代數運算，我們得到：
公式10：非相對論玻色子與短程力相互作用的拉格朗日密度從勢項gρ中的負號，我們可以看出相互作用是排斥性的。為了避免在式10中有零密度的可能性，通常在L中引入非相對論性玻色子的有限密度：
式11。下式：
方程12：墨西哥帽表達是圖4所示的墨西哥帽的表達式。
圖4：墨西哥帽。式11的一個結果是φ逼近場φ的期望值:
式13：墨西哥帽電位將迫使式12很小。為了研究自發對稱破缺，我們首先在極坐標下寫φ：
式14：欄位寫成極坐標。然後在期望值上加一個小擾動：
式15：在φ期望值上加一個小擾動。將式(15)代入式(11)得：
式16：拉格朗日密度以極坐標的形式表示。其中總的散度項被去掉了。現在，為了消去h，我們把拉格朗日密度代入路徑積分中，然後積分出來：
式17：通過路徑積分對h積分。拉格朗日密度為：
式18：無間隙模式玻色子流體的拉格朗日密度。式15告訴我們，存在一種無間隙模式的玻色子流體。線性色散關係如下圖5所示：
式19：超流體中玻色子的線性色散關係。自發對稱破缺後得到的拉格朗日量的形式給了我們動量超流。無質量玻色子θ稱為戈德斯通玻色子。戈德斯通玻色子的存在是自發對稱破缺的一般結果。
圖5顯示了實驗得到的超流體液體色散關係。當動量較低時，色散關係確實是線性的，當動量較大時，能量像我們預期的自由粒子。
圖5：超流體液體的分散關係。橫軸以A為單位測量。